$\alpha$を$0<$$\alpha$$<\frac{\pi}{6}$をみたす実数とします。 tan$\alpha$ , tan$2\alpha$ , tan$3\alpha$ がこの順に等比数列をなすような$\alpha$の値は$\frac{\pi}{n}$の形で表されます。$n$を答えてください。
半角数字で答えてください
3数$a,b,c$が等比数列をなす条件は$b^2=ac$
tanの加法定理から2倍角, 3倍角の公式を導出する
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$$ a_1=b_1=2025, \begin{cases} a_{n+1}=a_n-2n+b_{2028}\\ b_{n+1}=b_n+4n+a_{2028}\end{cases} $$
について、$a_n$の一般項を $$a_n=α−(n−1)(n−β)$$と表したとき、$β$の値を求めよ
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
以下の問いに答えよ.(自然数$n$について,$n!$ は,$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す.ただし$0!=1$とする.)
$r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて,$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と, $r<1$ を満たす実数 $r$ について,$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ.
自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら,$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ.
自然数組 $(a,i,k,n)$ について,$f(k)=k!-a^k$ ,$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする. $i<n$ ,$f(i)> 0$ を満たすとき,$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ.
$n>4$ を満たす自然数 $n$ について,$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ.
私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。
複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は $$ z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...) $$ を満たしている。このとき,$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。
$\sqrt{N+\sqrt{8999\cdot9001}}$が実数となり二重根号が外れるとき、 整数$N$の値を全て求めてください。 ただし$9001$,$8999$は素数であることが保証されます。
また、二重根号が外れるとは、 その値を正の有理数$a,b\cdots$を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\cdots$と表せることをいいます。
$N$として考えうる全ての値の総和を求めてください。
次の$x,y$についての連立方程式を実数の範囲で解いてください。
$$ \begin{cases} \Large\frac{9}{x^2-xy+y^2}+\frac{7}{x^2+xy+y^2}=\frac{x}{256} \\ \Large \frac{9}{x^2-xy+y^2}-\frac{7}{x^2+xy+y^2}=\frac{y}{256} \end{cases} $$
解となる$(x,y)$の組全てについて$x+y$を足し合わせたものを半角英数字で入力してください。
次の極限を求めてください。 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\frac{{}_nC_k}{(k+1)(n+1)^k}$$
解答に分数や特殊な文字、累乗を使用したい場合はTeX記法に則ってください。$は必要ありません。
以下の関数$f(x)$の最小値の$2$乗を求めてください。($x$は実数)
$$ \begin{align} f(x)= \ &\bigg\{48\lim_{N\rightarrow\infty}\Bigg(\sum_{k=0}^{N}\frac{\sqrt{N^2+k^2}}{N^2}\Bigg)-12\log\big(3+2\sqrt{2}\big)\bigg\}x^4\\ &+\sqrt{2} \ d\Bigg(\sum_{n=10}^{20}{}_n\mathrm{C}_{10}\Bigg)x^3-\bigg\{\max_{\theta\in\mathbb{R}}\bigg|\begin{pmatrix}96\\96\sqrt{7}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}\bigg|\bigg\}x^2\\ &-768\sqrt{2}\Bigg(\mathrm{Re}\sum_{m=0}^{\infty}\Big\{2^{-\frac{m}{2}}\Big(\cos\frac{m\pi}{12}+i\sin\frac{m\pi}{12}\Big)\Big\}-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)x+120\sqrt{2} \end{align} $$
ただし、$d(n)$は約数個数関数、縦書きの()はベクトル、$|A|$は絶対値、$\max_{\theta\in\mathbb{R}}f(\theta)$は$\theta$を実数範囲で動かしたときの$f(\theta)$の最大値、$\mathrm{Re}(z)$は$z$の実部を表します。
非負整数を半角英数字で入力してください。
下の問題の積分の値を求めなさい。 $$ \int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(x^2+1)^2} dx $$
例)$-\frac{1}{2}$の場合 -1/2 と半角英数字で入力してください。
$x>0$において、次の関数を定義する。 $g(x) = √(x² + cos²x + sin⁴x + 2(xcosx + xsin²x + cosxsin²x))$ このとき、以下の極限値を求めよ。 $lim_{x→0^+} \frac{g(x) - (x + \cos x)}{x^2}$
半角
実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$) $$ \tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x}) $$ ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。
(※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います)
解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。
図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例)$\frac{52}{3}$→17.33