[B]ネットワークの情報伝達

kaicho 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年9月12日18:00 正解数: 4 / 解答数: 7 (正答率: 57.1%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「Okapin Mathematical Contest」の問題です。

問題文

次のようなネットワークを考える.
・情報として「0」または「1」の状態を各ノードは保持することができる.
・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する.
・情報の伝達の際には,ある確率pで正しく状態を伝達するが,1-pの確率で状態が反転して伝達される.ここで,このpは枝によって値が異なることに注意する.
・2つのノードから情報が伝達される場合には,両方の情報を受け取った上で,保持する状態を決定する.このとき,2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し,異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする).
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え,始点と終点の状態が一致する確率xを求める.
ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える.このネットワークはxy平面上の$3\times3$のサイズの格子点において,x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b,始点を原点,終点を点(2,2)としたものとみなせる.このとき,$n\times n$のサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると,$n\to \infty$とした時に,始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ.

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ.例)11/92
1行目に①,2行目に②,3行目に③を解答すること.


ヒント1

補題1 以下の二つのネットワークは等価であることを示せ.

ヒント2

補題2 以下の二つのネットワークは等価であることを示せ.


解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

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  • 人 $i\; (i=1,2,\cdots, n)$ が選んだ数を $a_i$ とする。各人 $i$ に対して,
    $$
    a_i\equiv\sum_{j=1}^n a_j\; ({\rm mod} \; 3)
    $$ならば人 $i$ は生存し,そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い,全員が生存するか全員が脱落するとき,modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき

$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$

である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$

であり,そうでないときには

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$

である。また,

$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$

が成り立つ。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

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半角数字で解答してください。

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2 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{(\log{x})^q}$が有限値となる$q$とその極限値$\beta$を求めよ。

解答形式

$p=\fbox{ア}$
$\alpha=\displaystyle-\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$
$q=\fbox{エ}$
$\beta=\displaystyle-\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$
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$$
a_n=1+\sum_{m=1}^{2^n}{\rm floor}\left[\sqrt[n]{\frac{n}{\displaystyle{\sum_{k=1}^m}\; {\rm floor}\left(\cos^2\cfrac{(k-1)!+1}{k}\pi\right)}}\right]
$$なお、${\rm floor}(x)$ は $x$ 以下の最大の整数を返す関数とする。このとき、$a_{20}$ を求めよ。

ただし、必要であれば以下の定理および不等式を用いても良い。

  1. $n$ が素数のとき
    $$\quad(n-1)!\equiv-1 \pmod n$$
  2. $n\geq 1$ のとき
    $$1\leq\sqrt[n]{n}<2$$

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例えば,「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが,「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません.

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操作:ボー文字列に対して,次のうちいずれか一方を行う.

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  • (B)文字列の末尾に「ボ」を付け加える.

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半角数字で入力してください。

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$$
|z+1|=1  かつ |z-w| = |z|
$$

をみたして動くとき、点 $\mathrm{Q}(w)$ が動く領域を $D$ とする。$D$ の面積 $S$ を求めよ。

解答形式

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たとえば $S= \pi =3.14159265......$と解答する場合には、「3.14」と入力せよ。
すべて半角で入力すること。