求長問題7

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。

【補助線主体の図形問題 #017】
　今回は方針により計算量が変化する問題を用意しました。とはいえ暗算で解くには幾分厳しいです。簡単な計算用紙＆筆記具をお手元にご用意の上で挑戦してみてください。

解答形式

${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} \def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}} }$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. ヒント2の続き
4. ヒント3の続き

問題文

$x^4+y^4+z^4+w^4+(x^2+y^2+z^2+w^2)(xy+xz+xw+yz+yw+zw)+4xyzw$
を因数分解せよ。

解答形式

TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。
例1:
$(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)$と答えるには
(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。
例2:
$x,y,z,w$から重複せず3文字を選び、かけ合わせた項4つを辞書式順に並べると
$xyz,xyw,xzw,yzw$

問題文

自然数$a,b,c,d$は
$$a\neq b$$ $$(a+b)(a-b)+(ad-bc)=0$$ $$bc-a^2=1$$
を満たしています.このとき
$$\frac{c-d}{a-b}$$
の取り得る値を全て求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください.
Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき
-3/89
1
100
と解答してください.

問題文

3辺がそれぞれ3,√2,√10である不等辺三角形から成る等面四面体𝑋が存在する。三角形の面積を𝑝、𝑋に内接する球体の半径を𝑞とするとき、𝑞を𝑝を用いて表せ。

解答形式

𝑞=√a/b𝑝となります。
a+bを半角で答えてください

問題文

長方形・正方形・円が図のように配置されています。赤で示した線分の長さが7、長方形の面積が12のとき、青い線分の長さとしてあり得るものを全て求めてください。

解答形式

解答は$\sqrt{\fbox {アイ}},\frac{\sqrt{\fbox{ウエオ}}}{\fbox カ}$となります。文字列「アイウエオカ」を解答してください。ただし、根号の中身が平方数の倍数とならないように解答してください。

【補助線主体の図形問題 #015】
　今回は円がらみの求長問題にしてみました。地道なド根性解法もありますが、補助線次第では暗算も可能なように仕込んであります。お好みの解法・手法で挑戦してみてください。

解答形式

${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} \def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}} \def\myang#1{\angle \mathrm{#1}} \renewcommand\deg{{}^{\circ}} \def\myarc#1#2{\stackrel{\style{transform:matrix(#1,0,0,1.5,0,2)}{\frown}}{\mathrm{#2}}} }$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 前半の方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. 後半の方針をぼんやりと
4. ヒント3の続き

問題文

$xy$平面において点$O$を中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれ$P_0,Q$とする(ただし$P_0,O,Q$は一直線上にないものとする)。また、$\angle P_0OQ$のうち小さい方の角を$\theta$とする$(0<\theta<\pi)$。
これから、以下の操作を$i=1,2,3,…,n$について計$n$回行う。

(操作)
弧$P_{i-1}Q$のうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点を$P_i$とし、$\triangle P_{i-1}P_iQ$の面積を$S_i$とする。

このとき、
$$S_i=\sin\frac{\theta}{\fbox{ア}^i}-\frac{1}{2} \sin\frac{\theta}{\fbox{イ}^{i-1}}$$ となるので、
$$\sum_{i=1}^n2^{i-1}S_i=\frac{1}{2}\left(\fbox{ウ}^n\sin\frac{\theta}{\fbox{エ}^n}-\sin\theta\right)$$ となる。ここで$n\to\infty$とすると
右辺の極限値は、
$$\frac{1}{2}(\theta-\sin\theta)$$ となり扇形$P_0OQ$から$\triangle P_0OQ$を取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。

解答形式

$\fbox{ア}$~$\fbox{エ}$に入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。

問題文

実数 $a,b,c$ が $a^2+b^2+c^2\leqq 1$ を満たして動くとき、
座標空間上の点 $(a+b+c, ab+bc+ca, abc)$ が動く領域を $D$ とする。
以下の問いに答えよ。

⑴ $yz$ 平面に平行な平面 $\pi_t\colon \ x=t$ と $D$ が共有点を持つような実数 $t$ の範囲を求めよ。

⑵ $t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、平面 $\pi_t$ と $D$ の共通部分を $E_t$ とする。
このとき、 ある $t$ の関数 $m(t), M(t)$ および $t$ と $y$ の関数 $p(t,y),q(t,y)$ が存在して、

$$\begin{eqnarray} E^1_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ m(t) \leqq y \leqq M(t) \}\\ E^2_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ z^2+p(t,y)z+q(t,y)\leqq0 \} \end{eqnarray}$$

とおけば $E_t = E^1_t \cap E^2_t$ と表せる。このような $m(t), M(t), p(t,y),q(t,y)$ を求めよ。

⑶ $E_t$ の面積を $S(t)$ とおく。$t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、$S(t)$ を $t$ の式で表せ。 ただし、 $E_t$ がただ一点からなるときは $S(t)=0$ であるとする。

⑷ $D$ の体積 $V$ を求めよ。

解答形式

⑷のみ解答せよ。解は $V = \frac{\sqrt{(ア)}}{(イウ)}\pi$ と書ける。(ア)、（イウ）に当てはまる自然数をそれぞれ1,2行目に半角で入力せよ。ここでア,イ,ウの各文字には0から9までの整数のいずれかが入る。たとえば（ア）=3（イウ）=57 と解答する場合は、1行目に「3」、2行目に「57」と入力せよ。なお、根号の中身が最小になるように解答すること。

【補助線主体の図形問題 #024】
　今週も補助線主体の図形問題をお送りします。一瞬ギョッとするかもしれませんが、何かが連想できればいつも通り暗算で処理可能です。強引な処理方法もあります。あれこれ試行錯誤を楽しんでもらえれば幸いです。

解答形式

${ \def\cm{\thinspace \mathrm{cm}} \def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}} }$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 定理の紹介
2. ヒント1の使い方をぼんやりと
3. 全体の方針をぼんやりと

【補助線主体の図形問題 #047】
　今週の図形問題は傍心を登場させてみました。傍心は性質の多さの割には出題の例が少ないもので、僕のような初等幾何の問題作成者にはありがたい存在です。当問も暗算解法を仕込んでいます。傍心と戯れる経験は少ないかもしれませんが、臆せず楽しんでもらえれば幸いです。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

凸四角形$ABCD$の対角線$AC$上に点$E$があり，$\angle BAC=30^\circ$，$\angle ABE=110^\circ$，$\angle CBE=20^\circ$，$\angle DAC=10^\circ$，$\angle ADE=10^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle CDE$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．

$x$に当てはまる数を求めよ．

※3通りの解法を用意しています．難しくはないので，いろんな方向からアプローチしてみてください．

解答形式

解答のみを，半角数字で答えてください．