面積の確率

問題文

下図の塗りつぶされた部分の面積を求めよ。

条件
・四角形$ABCD$は一辺の長さが$3$の正方形
・円はどちらも正方形の$2$辺に接していて、その半径は$1$

解答形式

答えは正整数$a,c$と平方因子を持たない正整数$b$および互いに素な正整数$d,e$を用いて$\dfrac{π}{a}+\dfrac{\sqrt{b}}{c}-\dfrac{d}{e}$と表されるので、$a+b+c+d+e$の値を半角数字で入力してください。

問題文

次の式を因数分解せよ。

$$
x^2 +x^4+y^4+3x^2y^2 + xy + 2xy^3 + y^2 - 12 + 2x^3y
$$

解答形式

正解においてそれぞれのカッコ内の定数項の合計の値を解答しなさい。
なお、値が負の数になった場合、-の記号はカタカナで答えなさい。
(例)[ただし◯、◻︎、◎などの記号はx、yなどを含める式を表す]
(◯+2)(◻︎+1)→3
◎(◯-1)(◻︎+3)(△-⭐︎)→2
(◯-2)(◯-3)→マイナス5

問題文

単位円を外接円とする $\triangle ABC$ について，3辺の平方和 $s = a^2 + b^2 + c^2$ が最大となる条件を示し，その最大値を求めよ。

解答形式

3辺の平方和の最大値を入力してください。

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題文

2022^2022を10で割った余り。

解答形式

どうやってといたかもかいてね。
ひらがなでいいよ。
これはさんすうだからね。

問題文

$n, k$ を正の整数とし，

$$
A_n = n! + k^2 + 2k + 2
$$

とする。$1 \le k \le 100$ の範囲で，次の (＊) を満たす $k$ を全て求めよ。

(＊)　$A_n$ が平方数となる $n$ が少なくとも$1$つ存在する。

解答形式

$k$の値を半角数字で、小さい順に$1$行目から各行左詰めで入力してください。
例)
1
3
5

問題文

平面上に鋭角三角形ABCがある。以下の条件をみたすように点Dを定める。
「$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=2CD^{2}$
　$BC=AD$
　$点Dと点Bは直線ACに関して反対の向きにある$」
ここで線分ACを直径とする円と線分AD,BCとの交点をそれぞれE,Fとおき、
直線ACとEFの交点をPとするとAC=100,EF=90が成立した。
このとき、線分APの長さを求めよ。

解答形式

互いに素な正の整数p,qを用いてp/qと表されるので、p/qと解答してください

問題文

同様に確からしいサイコロを$2$回振り、出た目を順に$a,b$とします。
$\sqrt{a-\sqrt{b}}$の二重根号が外せる確率を求めてください。

解答形式

二重根号を外せる確率は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$p+q$の値を半角数字で入力してください。

解答に誤りがありました。(修正済み)大変申し訳ございません。

問題文

$0<m<n$ とする。以下の等式を満たす自然数 $m,n$ を全て求めよ。
$$\frac{(m+n-1)^4-(m+n-2)^4+m-n+1}{4(m+n-1)+m-n}=2026$$

解答形式

$m,n$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2
12,34

問題文

正の整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_1=2, a_2=-4, a_{n+2}-2a_{n+1}+4a_n=0}$$
を満たしている。
${|a_{2025}|}$ の正の約数の個数を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

問題文

次の方程式を解いて、$x$の値をすべて求めてください。
$$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0$$

解答形式

$a,b,c,d,e$のように解答してください。($π$はpiで$i$(虚数単位)はiで分数は$\frac{1}{2}$の場合は1/2のように解答してください。)

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で