digit sum

問題文

2,3,1/6が書かれた3枚のカードがある。カードを取り出し、元に戻す操作を3n回行う。また、それぞれのカードは等確率で取り出すものとする。3n回の操作で、引いたカードに書かれた数の総積が整数となる確率の極限値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力して下さい
答えのみ

【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。

$$S = n \times 10^k + m$$

（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）

$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。

※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例　(n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88

問題文

あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0<p_k \leqq 1)$ を取り$,
$ 以下のゲームを考える。

・その日に術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$5$点を奪うことができる。負けた場合$5$点奪われることになる。
・その日に非術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{1-p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$1$点を奪うことができる。同様に負けた場合$5$点奪われることになる。

$19$日間の総得点の期待値の最大値を求めてください。また$,$ 期待値が最大となるときの $p_k$ を答えてください。

解答形式

求める期待値の最大値は互いに素な正整数 $a,c$$,$ 平方因子をもたない $b$$,$ 正整数 $d$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}-d$ と表せるので$,$ $a+b+c+d$ の値とその後ろに $p_k$ の分母と分子の和をすべて半角で入力してください。
※空白はいりません。
例: 最大値が $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}-4$ で$,$ そのとき $p_k=\dfrac{1}{2}$ の場合 → $143$

問題文

$8\times8$のマス目からなるオセロ盤に，黒石が 4 つ置かれています．tomorunn君は，石が置かれていないマスに白石を 1 つ置く操作を，すべてのマスに石が置かれるまで繰り返します．
「ある白石を置いたとき，その石と既に置かれている白石で一直線（縦・横・斜めの計 8 方向）に挟まれた黒石をすべて白石に変える」というルールの下で，白石を置く順序を適切に選ぶことで，最終的に盤面に残る黒石の個数を 3 つ以下にできるような，黒石の初期配置は何通りありますか？
ただし，最終的に盤面に残る黒石の個数は操作の順番に依らないことが保証されます．

解答形式

例）半角数字で回答してください。

$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数

このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めてください
$$N = S^k + P \dots (*)$$
なお、必要であれば常用対数の値を用いてもよいです。

(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。

解答形式

Nを小さい順に並べて解答してください

解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
12
34

問題文

四角形$ABCD$があります.ここで三角形$ABC$は直角二等辺三角形であり,また$\angle ADC=90^\circ$です.
直線$AC$と直線$BD$の交点を$P$とするとき,$PC=4$,$AC=12$でした.
このとき,線分$CD$の長さを求めてください.

解答形式

線分$CD$の長さは互いに素な正の整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{\sqrt{b}}$と表せるので,
$a+b$の値を半角数字で解答してください.

問題文

$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.

解答形式

与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について,
$p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

次の問題のxとyを求めてください。

3x➕2y🟰x➖y🟰2x➖3y➖7

x＝○○、y＝○○
の形で回答してください。
xとyは小文字です。
マイナスが付く場合はひらがなの延ばし棒を記入してください。

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

円Oの直径BCを斜辺とし、円周上に点Aを取った三角形ABCと、線分AOを少し延長したところに点Dを取った三角形BCDがある。そこに、∠Aから辺BDに垂直な線分を書き、その交点を点Fとした。EO=DO,∠OCD=25°のとき、∠BAFは何度ですか。

解答形式

例）〇〇°

問題文

$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。

解答形式

50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。