高校数学　難問

問題文

$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha > \beta$）とし、数列 ${a_n}$ を$$a_n = \alpha^n + \beta^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$で定義する。以下の問いに答えよ。(1) $a_1, a_2, a_3$ の値を求めよ。また、$n \ge 1$ に対して $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。(2) すべての自然数 $n$ に対して、次の等式（カッシーニの恒等式の拡張）が成り立つことを証明せよ。$$a_{n+1}^2 - a_{n+2} a_n = -12$$(3) 次の和 $S_n$ を、$a_1, a_2, a_{n+1}, a_{n+2}$ を用いて対数を使わずに（ひとつの対数の中にまとめた真数の形で）表せ。$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2 \left( 1 + \frac{12}{a_k a_{k+2} - 12} \right)$$(4) 数列 ${a_n}$ の一の位の数字を $c_n$ とする。数列 ${c_n}$ が周期性を持つことを示し、和 $T = \sum_{k=1}^{2027} c_k$ を求めよ。(5) $\alpha > \beta$ であることを用いて、任意の自然数 $n$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ。$$a_n - 1 < \alpha^n < a_n$$さらに、$(2+\sqrt{3})^{2027}$ の整数部分の一の位の数字を求めよ。

解答形式

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