解説を入力してください。
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$x^3+x^2+x-1=0$ の解を$\alpha,\beta,\gamma$として、$\alpha^{514}+\beta^{514}+\gamma^{514}$を1009で割った余りを求めて下さい。
$$ \sqrt{log_\frac{1}{2}(\frac{1}{256})}の小数部分？ $$
BくんとAちゃんはゲームを行う。 Bくんはゲームに勝利したらAちゃんと付き合うことができるが、負けたら付き合うことができない。
ルール 3つの飴の山X,Y,Zがある。Bくんを先手、Aちゃんを後手として、交互に、どれか一つの山を選んで好きな個数飴を食べる。ただし、一度に飴を2026個食べることはできない。2027個以上食べることは可能である。飴を食べ尽くした方が勝ちである。
Bくんの担任の先生は、X,Y,Zそれぞれに1個以上10000個以下の飴を配置する。そのうち、BくんがAちゃんと付き合える場合の数を求めよ。ただし、BくんはAちゃんと付き合いたいものとし、AちゃんはBくんと付き合いたくないものとする。
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = BC$ を満たしている。 対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$BE = 4, ED = 5$ であった。 四角形 $ABCD$ の周の長さが $26$ であるとき、線分 $AD$ と $CD$ の長さのうち、大きい方の値を求めよ。
$x^6+3x^4+2x^2-1$ を整数係数範囲で因数分解してください.
与式は複数個の多項式に因数分解できるので,できるだけ因数分解し, 多項式毎に $x$ の指数 $+1$ と係数の積の和を求め,それらを掛けたものを入力してください. 例.) $(x^2+x+3)(2x^3+5x+1)$ と因数分解できたとき, 答える値は $(3\cdot1+2\cdot1+1\cdot3)(4\cdot2+2\cdot5+1\cdot1)=152$ です.
実数x,yが$$2x+3y=π$$を満たす時、$$sin2x+cos3y $$の最大値と最小値を求めよ。
・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。 ・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。 ・マイナスは全角－で表記してください。 ・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。 ・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。
$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分
$$ \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx $$
を計算せよ。
piまたは 355/113 で解答してください。
pi
355/113
相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が $$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$ を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。
半角数字で回答してください。
https://pororocca.com/problem/19/ こちらの問題の設定で，「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．
半角数字で入力してください．
(1) 定積分
$$ \int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx $$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$ f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x $$
で定める。定積分
$$ \int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx $$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。
$$ a^2-4b-1=0\\ b^2-8c+28=0\\ c^2-6a+2=0\\ $$
a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。
(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。
(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。
(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。
(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。
解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。
O
X
