Vo Sequence

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月4日18:02 正解数: 2 / 解答数: 4 (正答率: 50%) ギブアップ不可
組合せ 数列

問題文

「ボ」と「ー」からなる文字列のうち,以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします.


条件:長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく,連続して現れない.


例えば,「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが,「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません.

ボー文字列に対して,次の操作を行うことを考えます.


操作:ボー文字列に対して,次のうちいずれか一方を行う.

  • (A)文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える.
  • (B)文字列の末尾に「ボ」を付け加える.

ただし,得られた文字列はボー文字列でなければならない.


1文字「ボ」から始めて,ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします.異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき,$a_{10}$ を求めなさい.

解答形式

半角数字で入力してください。


ヒント1

例えば,3文字のボー文字列を作る方法は

  • ボ → ボー → ボーボ
  • ボ → ボボ → ボーボ
  • ボ → ボボ → ボボー
  • ボ → ボボ → ボボボ

の計4通りあるので $a_3=4$ です.

ヒント2

$\{a_n\}$ はとある $3$ 項間漸化式を満たします.


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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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行列$A$を次で定義する。
$$
A=
\begin{pmatrix}
6& -3 & -7 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\
5& -3 & -6 & 0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\
0& 0 & 0 & -1 & 4 & 1\\
0& 0 & 0 & 2 & -4 & 0\\
\end{pmatrix}
$$
このとき次の実線形空間の次元を求めよ。
$$
V=\{X\in M_{6}(\mathbb{R})\mid AX=XA\}
$$
ただし、$M_{6}(\mathbb{R})$とは6行6列の実正方行列全体の集合である。

解答形式

半角数字で答えよ。

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図のように2つの半円が配置されています。(右側の半円の直径の一端は左側の半円の中心に一致する。)赤、緑で示した線分の長さがそれぞれ3,10のとき、青で示した四角形の面積を求めてください。
ただし、図中点線で示した直線は2つの半円の共通接線です。

解答形式

半角数字で解答してください。

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直径10の半円中に、直径の和が10となる2つの半円を図のように配置します。点Aを大半円の弧上にとり、線分AB,ACと小半円の交点をD,Eとします。
$BD^2+DE^2+EC^2$が最小となるようにしたとき、その最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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半径比が1:2の同心円と直角三角形です。
赤い線分の長さが12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは$\frac{\fboxア}{\fboxイ}$(ただし既約分数)となります。$\fboxア\fboxイ$に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。

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(1)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときの循環節(※)が2以上8以下であるような$p$は6つ存在する。フェルマーの小定理を用いて$p$とその$p$に対する$\frac{1}{p}$の循環節の長さの関係を導き、6つの$p$の値を全て答えよ。

(2)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときに最大で1が連続して並ぶ個数を$f(p)$とおく。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$より$f(3)=1$である。(1)を満たす$p$の中で$f(p)$が最大となるのは$p$がいくらのときか。Midyの定理を用いることによって求め、その値を答えよ。


(※)循環節とは、循環小数の繰り返される数字の列のうちその長さが最小でありかつその先頭が最も先に来るようなもののことである。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$となり、このときの循環節は$01$であり、$0101$や$10$は循環節とならない。


解答形式

(1)の全ての答えを小さい順に1~6行目に半角数字で入力してください。また、(2)の答えを7行目に半角数字で入力してください。

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問題文

(2020.9.26 11:57追記)
解答形式に不備があったため、訂正致しました。

図の青、緑、赤の線分の長さを$X,Y,Z$、斜線部の面積を$S$とすると、次の式が成り立つ。
$$
\frac{[ア]}{S}=\frac{[イ]}{Z}\left(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\right)
$$

なお、図の曲線は半円の弧である。

解答形式

$[ア],[イ]$にはともに自然数が入ります。その和を半角数字で解答してください。
ただし、その和が最小となるように解答してください。
例:$[ア]=4,[イ]=2$なら$6$ではなく(両辺を$2$で割ることにより)$3$と解答。

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解答形式

TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。
例1:
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(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。
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数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。

解答形式

$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。

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次のようなネットワークを考える.
・情報として「0」または「1」の状態を各ノードは保持することができる.
・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する.
・情報の伝達の際には,ある確率pで正しく状態を伝達するが,1-pの確率で状態が反転して伝達される.ここで,このpは枝によって値が異なることに注意する.
・2つのノードから情報が伝達される場合には,両方の情報を受け取った上で,保持する状態を決定する.このとき,2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し,異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする).
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え,始点と終点の状態が一致する確率xを求める.
ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える.このネットワークはxy平面上の$3\times3$のサイズの格子点において,x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b,始点を原点,終点を点(2,2)としたものとみなせる.このとき,$n\times n$のサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると,$n\to \infty$とした時に,始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ.

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ.例)11/92
1行目に①,2行目に②,3行目に③を解答すること.

求長問題5

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問題文

※解答形式に注意!

図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。
ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。

解答形式

答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。
ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。