有名な解法を使いたい

問題文

数列$~\{a_n\},~\{b_n\}$を相異なる2つの実数$~\alpha,\beta~$を用いて以下のように定義する。
$$
a_n = \cfrac{1}{\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\alpha^{n-k}\beta^{k}}~~~,~~~b_n = \sum_{m=0}^\infty\frac{1}{a_mn^{m+2}}
$$ただし、$\{b_n\}~$は$n\geq 2$で定義されるものとする。$\alpha,\beta~$が
$$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
|\alpha||\beta| = 1
\end{cases}
$$を満たすとき、
$$
a_k = b_k
$$となる最小の自然数$~k~$は$~k=\fbox{ア}\fbox{イ}$であり、このとき$~b_k = \cfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}$である。

解答形式

ア〜オには0から9までの数字のいずれかが入る。
数字列「アイウエオ」をすべて半角で入力し解答せよ。
ただし、分数は既約分数の形にすること。

問題文

$n$を$5$以上の自然数とする。
$a_{1}+a_{2}+a_{3}<a_{4}+a_{5}\leq n$ を満たす自然数の組$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})$は何通りあるか。

解答形式

答えは$\frac{\fbox{あ}n^5-\fbox{い}n^4+\fbox{う}n^3-\fbox{え}n^2+\fbox{お}n}{\fbox{か}}$と表せます。
この分数式が既約な形になるように、それぞれの文字に当てはまる整数を、半角数字で、五十音順に改行して答えてください。
(例)$\fbox{あ}=2,\fbox{い}=10,\fbox{う}=4$と回答する場合
2
10
4

問題文

$xy$平面において点$O$を中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれ$P_0,Q$とする(ただし$P_0,O,Q$は一直線上にないものとする)。また、$\angle P_0OQ$のうち小さい方の角を$\theta$とする$(0<\theta<\pi)$。
これから、以下の操作を$i=1,2,3,…,n$について計$n$回行う。

(操作)
弧$P_{i-1}Q$のうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点を$P_i$とし、$\triangle P_{i-1}P_iQ$の面積を$S_i$とする。

このとき、
$$S_i=\sin\frac{\theta}{\fbox{ア}^i}-\frac{1}{2} \sin\frac{\theta}{\fbox{イ}^{i-1}}$$となるので、
$$\sum_{i=1}^n2^{i-1}S_i=\frac{1}{2}\left(\fbox{ウ}^n\sin\frac{\theta}{\fbox{エ}^n}-\sin\theta\right)$$となる。ここで$n\to\infty$とすると
右辺の極限値は、
$$\frac{1}{2}(\theta-\sin\theta)$$となり扇形$P_0OQ$から$\triangle P_0OQ$を取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。

解答形式

$\fbox{ア}$~$\fbox{エ}$に入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。

問題文

関数$f(x)=(xe^{x-1}+x^2+2x+2)e^{-x}$の極大値を求めよ。

解答形式

半角数字またはTeXで入力してください。分数の場合は「a/b」などと入力可能です。
例:
答えが$\displaystyle\frac{e^2}{7}$の場合、「e^2/7」と入力する。

答えが$\displaystyle\frac{4e^3+26}{e^4}$の場合、「(4e^3+26)/e^4」と入力する。

問題文

実数 $a,b,c$ が $a^2+b^2+c^2\leqq 1$ を満たして動くとき、
座標空間上の点 $(a+b+c, ab+bc+ca, abc)$ が動く領域を $D$ とする。
以下の問いに答えよ。

⑴ $yz$ 平面に平行な平面 $\pi_t\colon \ x=t$ と $D$ が共有点を持つような実数 $t$ の範囲を求めよ。

⑵ $t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、平面 $\pi_t$ と $D$ の共通部分を $E_t$ とする。
このとき、 ある $t$ の関数 $m(t), M(t)$ および $t$ と $y$ の関数 $p(t,y),q(t,y)$ が存在して、

$$
\begin{eqnarray}
E^1_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ m(t) \leqq y \leqq M(t) \}\\
E^2_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ z^2+p(t,y)z+q(t,y)\leqq0 \}
\end{eqnarray}
$$

とおけば $E_t = E^1_t \cap E^2_t $ と表せる。このような $m(t), M(t), p(t,y),q(t,y)$ を求めよ。

⑶ $E_t$ の面積を $S(t)$ とおく。$t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、$S(t)$ を $t$ の式で表せ。 ただし、 $E_t$ がただ一点からなるときは $S(t)=0$ であるとする。

⑷ $D$ の体積 $V$ を求めよ。

解答形式

⑷のみ解答せよ。解は $V = \frac{\sqrt{(ア)}}{(イウ)}\pi$ と書ける。(ア)、（イウ）に当てはまる自然数をそれぞれ1,2行目に半角で入力せよ。ここでア,イ,ウの各文字には0から9までの整数のいずれかが入る。たとえば（ア）=3（イウ）=57 と解答する場合は、1行目に「3」、2行目に「57」と入力せよ。なお、根号の中身が最小になるように解答すること。

2つの正三角形と2つの正方形

2つの同じ大きさの正三角形と2つの正方形があります。
色が付いている部分と大きな正方形の比を答えましょう。

解答形式

分数で答えてください。

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=1,\ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{8k-3}{4n^2-1}a_k\ (n = 1,2,...)
$$

で定める。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}$ を求めよ。

解答形式

求める極限値は、ある有理数 $q$ を用いて $q \pi$ と表せる。この $q$ を小数で表し、小数第4位を四捨五入したものを入力せよ。すべて半角数字で入力すること。なお、もし $3/2=1.5$のようになる場合は、$1.500$ と入力せよ。

問題文

$a_1=1,na_{n+1}-2(n+2)a_n=(n+1)(n(n+2)+2^{n+1})$を満たす数列${a_n}$の一般項を求めよ。

解答形式

一般項は一桁の自然数$a,b,c,d$を用いて、$a_n=(an^2+n-b)c^{n-1}-n(n+d)$と表されるので、$abcd$を解答してください。

例
$(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$→$1234$を入力

問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．

双六でnマス目に止まる確率を求めよ。
ただし、n≦10、さいころは1個とする。

解答形式

初投稿で難易度設定とか解答の作り方とかよく分かってないので間違っていたらすみません。
・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
・a分のbのc乗→(b/a)^c
・b/a+d/cのようなものは1項にまとめてください。
・場合分けがある場合は
n≦aのとき(解答)
b≦n≦cのとき(解答)
といったように改行して答えてください。

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

＊解答だけで構いません。