関数 f(x) を f(x)=4x(1−x) で定義し、数列 {xn} (n=1,2…) を、
x1=sin21=0.708073418..., xn+1=f(xn) (n=1,2,...)
で定める。このとき、 極限値 limn→∞1nn∑k=1log|f′(xk)| を求めよ。
注: 角度の単位はラジアンを用いる。 log は自然対数を表すものとする。また、π が無理数であることは認めてよい。
求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: 2π=6.2831...と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: −π=−3.1415...と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。
また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
log2=0.6931...,log3=1.0986...,log7=1.9459...
まず x2=sin22 を示してみよ。sin の倍角公式が使えるはずである。
{xn} の一般項が xn=sin2(2n−1) で表せることを示し、極限計算に用いよ。
なお、π が無理数であることから、すべての n に対し xn≠12 であることがわかる。
sin の倍角公式を繰り返し用いて
sin2n=2sin(2n−1)cos(2n−1) =4sin(2n−2){cos(2n−2)cos(2n−1)}=8sin(2n−3){cos(2n−3)cos(2n−2)cos(2n−1)}......
と計算できることを用いよ。{} の中身が極限値を求める計算に現れるはずである。
この問題を解いた人はこんな問題も解いています