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カオス的数列

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月12日0:21 正解数: 7 / 解答数: 9 (正答率: 77.8%) ギブアップ不可

問題文

関数 f(x)f(x)=4x(1x) で定義し、数列 {xn} (n=1,2) を、
x1=sin21=0.708073418...,  xn+1=f(xn)  (n=1,2,...)

で定める。このとき、 極限値 limn1nnk=1log|f(xk)| を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 log は自然対数を表すものとする。また、π が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: 2π=6.2831...と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: π=3.1415...と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
log2=0.6931...,log3=1.0986...,log7=1.9459...


ヒント1

まず x2=sin22 を示してみよ。sin の倍角公式が使えるはずである。

ヒント2

{xn} の一般項が xn=sin2(2n1) で表せることを示し、極限計算に用いよ。
なお、π が無理数であることから、すべての n に対し xn12 であることがわかる。

ヒント3

sin の倍角公式を繰り返し用いて

sin2n=2sin(2n1)cos(2n1) =4sin(2n2){cos(2n2)cos(2n1)}=8sin(2n3){cos(2n3)cos(2n2)cos(2n1)}......

と計算できることを用いよ。{} の中身が極限値を求める計算に現れるはずである。


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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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これから、以下の操作をi=1,2,3,,nについて計n回行う。

(操作)
Pi1Qのうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点をPiとし、Pi1PiQの面積をSiとする。

このとき、
Si=sinθi12sinθi1となるので、
ni=12i1Si=12(nsinθnsinθ)となる。ここでnとすると
右辺の極限値は、
12(θsinθ)となり扇形P0OQからP0OQを取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。

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解答形式

⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
x= ± 

の形である。ア~カのそれぞれには1から9までの自然数または文字aが入る。
ア~カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア=2、イ=7、ウ=3、エ=5、オ=8、カ=a と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。

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問題文

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をみたして動くとき、点 Q(w) が動く領域を D とする。D の面積 S を求めよ。

解答形式

求めた値を小数で表し、小数第3位を四捨五入して小数第2位まで答えよ。
たとえば S=π=3.14159265......と解答する場合には、「3.14」と入力せよ。
すべて半角で入力すること。

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すべての複素数に対して定義され、複素数の値をとる関数 f(z) は、すべての複素数 z,w について

f(z+w)=f(z)f(w)+zw ...()

をみたすとする。以下の問いに答えよ。

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解答形式

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  2. a1,a2 を平行(*)でない平面ベクトルとする。実数 k1,k2,k1,k2 に対して
    k1a1+k2a2=k1a1+k2a2が成り立つならば k1=k1 かつ k2=k2 である。

  3. 実数全体を定義域とする微分可能な実数値関数 f(x)
    f(x)=xを満たすとする。このとき,f(x) はある実数 a を用いて
    f(x)=xatdtと表せる。

  4. 数列 {an},{bn}n である実数に収束するとする 。任意の n に対して bn0 ならば,数列 {anbn} も収束する。

注意

  • *この問題では,平面ベクトル a1,a2 が平行であるとは a1=ka2 となる実数 k0 が存在することをいいます。
  • (2020/6/11 15:40 更新)命題 1 の条件を変更しました。正解には影響ありません。

解答形式

k=1,2,3,4 に対して,命題 k が真なら T を,偽なら F を第 k 行に出力してください。

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解答形式

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