$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。
(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)
$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。
【補助線主体の図形問題 #028】
今回は素朴な面積関係の問題を用意しました。素朴なだけに多様な手法が通用します。力技解法もあれば、補助線による暗算解法も仕込んであります。思い思いの手法で挑戦してみてください!
※2021年9月11日より難易度評価を見直して、総じて★+1しました。この問題の現難易度評価★2.5は、旧評価の★1.5にあたります。
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
$ $ 地理奈ちゃんは,$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています.
$ $ そこで,以下のルールをすべて守った数列を,良い数列と呼ぶことにします:
$ $ この時,良い数列は全部でいくつありますか?
非負整数を半角で解答してください.
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この問題は解答の練習に使うことができます。自動ジャッジ形式で正規表現を用いて「(ネコ)|(ねこ)」という解答が設定されていますので、この場合は「ネコ」もしくは「ねこ」と解答していただくと正解となります。
$$
1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)
$$
は、$2$ で最大何回割り切れるか。
半角数字のみで答えよ。
たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に
5555
と入力せよ。
正整数 $n$ について $d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すとき、
$$\sum^{100000}_{k=1}d(k)$$
の値を求めよ。
以下は体育会系数学部のある部員がこの問題に挑戦した記録である。
とりあえず1から順に約数の個数を数えていくぞ!
$d(1)=1$
$d(2)=2$
$d(3)=2$
$d(4)=3$
...
$d(100)=9$
これを $100000$ までやるのは大変だな...
もしかして主客転倒すれば
$$\sum^{100000}_{k=1} \left [\frac{100000}{k}\right ]$$
を計算すればいいのでは?やってみよう!
$\sum^{1}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =100000$
$\sum^{2}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =150000$
$\sum^{3}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =183333$
...
$\sum^{100}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =518692$
この調子でどんどん計算していくぞ!
...
$\sum^{1000}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =748058$
流石に疲れてきたな...
...
$\sum^{2024}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] = 818025$
意識が朦朧としてきた...
その後部員は救急車で病院に搬送された。
部員の途中計算は間違っていないようだ。部員の意思を継いでこの問題の答えを出してほしい。
非負整数で解答してください。