数学の問題一覧

問題文

数列 {${a_n}$} を以下のように定義する。

$$ a_{n+3} = a_{n+2}+ a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta, a_3 = \gamma $$

ただし、$\alpha,\ \beta,\ \gamma\ $は実数である。

1. $n$ が奇数のとき、$a_n$ は $n,\ \alpha,\ \gamma\ $のみで決定する（つまり$\ \beta\ $に依らない）ことを示せ。
2. この数列 {${a_n}$} の一般項を求めよ。

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

解説は正解者のみに公開される設定になっています。ヒントもほとんど解説みたいなものなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。（勿論、解答の再投稿も歓迎します。）

本問の場合、ヒント1~3が1.の、4~6が2.のヒントになっています。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
  （もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）

  1. この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
  2. ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
  3. ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？

x,y,nを自然数とする.底面の半径がx,高さがyの円錐の体積をV,表面積をSとしたとき,S,Vが次の条件を満たすようなx,yを全て求めよ.
（条件）S=V=nπ

問題文

$$ I_n=\int_{1}^{n}\log x dx $$
とする。ただし$n$は非負の整数。以下の設問に答えよ。ただし、必要ならば以下の式を用いてよい。
$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$

1. $I_n \leq \log n! \leq I_{n+1}$を示せ。(20点)
2. $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)^n}$を求めよ。(30点)

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
  （もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）

  1. この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
  2. ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
  3. ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？

（かつて別のサイトに乗せたことがある問題です。）

問題文(50点)

$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。

①：長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)

ここで、以下の様に$r,\theta$を導入する。

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \cos\theta = \frac{x}{r},\ \sin\theta = \frac{y}{r}$$

また、$q$を以下の様に定義する。
$$q = \frac{c}{a}$$

このとき、①の楕円において次が成り立つ。

$$r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos\theta} \tag{i}$$

②： $\ (\mathrm{i})\ $を示せ。(15点)

③： ①の楕円を原点周りに30°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき、$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

• 解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、この設問が完答できる生徒のレベル感などを予想してもらえると助かります。

問題文

$f(x) = e^{\frac{x}{2}}-1 $ として、$C_1: y = f(x)$, $C_2: x = f(y)$ とする。
$C_1$, $C_2$ との、原点以外の交点の座標を$(a,e^{\frac{a}{2}}-1)$ とする。
$C_1$, $C_2$ とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき、
$S=a(a-ア)$となる。

解答形式

アに入る数字を、半角数字で入力してください。

問題文

解答形式

◻︎に当てはまる数字を半角数字で入力してください。

問題文

各辺が$\;1\;$の正八面体$\;O$-$ABCD$-$E\;$において、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\;\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\;\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$とする。
また、辺$\;OB\;$の中点を$\;M\;$、正八面体の各頂点を通る球 (外接球) の中心を$\;L\;$とする。

$(1)\;\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$(2)\;$球上の点と点$\;M\;$の最短距離を求めよ
$(3)\;(2)$において最短となる球上の点を$\;N\;$とすると、$\overrightarrow{LN}\;$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ

$$$$

解答形式

㋐～㋗に当てはまる半角数字を行ごとに入力してください。
㋘～㋚には$\;1\;$か$\;-1\;$を入力してください

$(1)\;\overrightarrow{d}=㋐\;\overrightarrow{a}+㋑\;\overrightarrow{b}+㋒\;\overrightarrow{c}$
$(2)\displaystyle\frac{\sqrt{㋓}-㋔}{㋕}$
$(3)\;\overrightarrow{LN}=\displaystyle\frac{\sqrt{㋖}}{㋗}(\;㋘\;\overrightarrow{a}+㋙\;\overrightarrow{b}+㋚\;\overrightarrow{c}\;)$

問題

+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。

解答形式

非負整数のみで回答してください

$$ 数列a_{n}を次のように定義する$$$$a_{1}=4,a_{2}=1,a_{3}=16,a_{4}=9……
$$$$a_{2n-1}=(2n)^{2},a_{2n}=(2n-1)^{2}$$$$この時一般項a_{n}と和S_{n}を奇偶で場合分け$$$$せず1つの式でそれぞれ求めよ
$$$$(ただしS_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}とする)$$$$解答法はa_{n}=...,S_{n}=…です$$

問題文

$$
\lim_{n \to \infty} n \left\{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{2025}-\int_{0}^{1} x^{2025}dx \right\}
$$を求めよ。

解答形式

答えは互いに素な自然数$p,q$を用いて$\displaystyle\frac{p}{q}$とあらわされるので$p+q$を半角で1行目に記入してください。

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を，小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします．このとき，以下の値を求めてください：

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．