問題
整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．
- ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．
解説
まず，$xy$ 平面の領域 $z_k\lt 2$ は四つの頂点が $(k\pm 2,k),(k,k\pm 2)$ である正方形の内部 $S_k$ を表し，三角形が存在する条件は「二辺長の和 ＞ 残りの辺長」より $P(x,y)=x^3+y^3+8-6xy$ とおくと，その倍は次のように変形できる．$$2(x+y+2)(x^2+y^2+2^2-xy-2x-2y)=(x+y+2)\{(x-y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2\}$$ よって，$P(x,y),P(-\,x,y),P(x,-\,y)$ がすべて正の条件は $(x,y)\neq (2,2),\ x+y\gt -\,2$ かつ $-\,2\lt x-y\lt 2$ よりこの領域内で $k=0,2,4,\cdots$ に対するどの $S_k$ にも属さない部分は隣接する正方形の共有辺に限られる．その格子点の候補は $(k+1,k+1)$ となるので，求める反例は $71^2=7!+1$ をもとに，$k=0,2,\cdots,68$ と対応する $\boldsymbol{35}$ 組となる．
参考
十分条件の反例は $(x,y)=(2,2)$ の $1$ 組だけとなり，$k$ が非負整数なら必要条件であり，十分条件ではないとわかる．