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座標幾何-面積比

n01v4me 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年4月24日23:37 正解数: 1 / 解答数: 1 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0

問題文

arを正の実数とし, a>12であるものとします.
放物線Kと円Lを次のように定めます.
K:y=x2,L:x2+(ya)2=r2このとき, KLは接しています.その接点を第2象限にあるものをA, 第1象限にあるものをBとし, 円Lの中心をP, 直線APと円LAでない交点をC, x軸との交点をQとします.また, △ABCの面積をS,
四角形PQOBの面積をTとするとき, 次の等式を満たしました.TS=689aは1つの非負整数に定まりますのでその値を求めてください.

解答形式

非負整数を半角で入力してください.


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解答提出

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数列{a_n}を,
a_1=log2 , a_(n+1)=(na_n+log(2n+1)+log2)/(n+1)
によって定める。
このとき, この数列の一般項 a_n および 極限値 lim(n→∞) (a_n-logn) をそれぞれ求めよ。

記述解答(大雑把で良い)でお願いします。

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級数
1+12+13+1415161718+19+110+111+112113114115116+
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 n 項の絶対値は 1n であり, 各項の符号は 4 項ごとに交代する.

解答形式

収束値は A - F をいずれも自然数として最も簡単な形で A+BCDπ+logEF
と 表されます. 文字列 ABCDEF を解答してください.

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以下の問に関して, 2.71<e<2.72 , 3.14<π<3.15 とする.

(1) a0 のとき a+1 , ea の大小を比較せよ.

(2) α>0 かつ β>0 かつ αβ のとき,
αβ , β(logαlogβ) の大小を比較せよ.

(3) eπ , πe の大小を比較せよ.

(4) eee,eeπ,eπe,eππ,πee,πeπ,ππe,πππ の大小を比較せよ.
ここで, abca(bc)を表す.

解答形式

(1) ① a+1ea
(2) ① αβ β(logαlogβ)
(3) ① eππe
(4) ①eeeeeπeπeeπππeeπeπππeπππ
として問ごとに改行し,小さい順に左から半角数字を用いて並べよ.
(例)12345678

4次関数の性質

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問題文

4次関数のグラフC:y=f(x)は2つの変曲点P,Qをもち、1本の複接線が引けて、異なる2点A(α,f(α)),B(β,f(β))が接点となる。またf(x)の4次の係数は1である。このとき、d3dx3f(x)=0の解をx=γC(γ,f(γ))、複接線をl1、直線PQl2C上の点Cにおける接線をl3l2Cの交点のうちP,Qと異なる点をそれぞれR,Sl3Cの交点のうちCと異なる点をそれぞれD,Eとおく。ただしx座標について、AよりBPよりQRよりSDよりEの方が大きいとする。

(1)直線l1,l2,l3は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比AB2:PQ2を求めよ。

(3)線分長の2乗比RS2:DE2を求めよ。

(4)直線l2Cで囲まれる部分の面積Sα,βで表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
AB2:PQ2=a:b
RS2:DE2=c:d
S=efghi(βα)j

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問題文

A,B,Cの三人がこの順で時計回りに座って次のようなゲームをする。
(i)始め、AはCと書かれたカード、BはAと書かれたカード、Cは無地のカードとBのカードを持っている。
(ii)Aから時計回り順で、反時計回りに隣の人が持つカードから1つを等確率で選んで引く。
(iii)(ii)を繰り返して、自分の名前の書かれたカードを最初に引いた人を勝ちとする。
A,B,C,がが勝つ確率をそれぞれ、a,b,cとする。a,b,cをそれぞれ求めよ。

解答形式

半角英数字で(分子)/(分母)として既約分数で解答してください。(例)35/216
aを1行目、bを2行目、cを3行目に、解答してください。完答で正解とします。
8/25追記 解説を公開しました。

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3本の杭と中央に穴のあいた大きさの異なるn枚の円盤があります。いま、杭の1つにすべての円盤が小さいものが上にくるように積み重なっています(初期状態)。この状態から下記のルールを守りながら操作を行うとき、初期状態から到達し得る状態は何通りありますか。ただし初期状態も1通りと数え、また3本の杭は区別することとします。

例えば「左端の杭に大きさ1からnの全ての円盤が積み重なっている状態」を1つ、そこから操作を一回だけ行い、「左端に大きさ2からnの円盤、真ん中に大きさ1の円盤が積み重なっている状態」を1つ、のように状態の数をカウントします。また、「真ん中の杭に大きさ1からnの全ての円盤が積み重なっている状態」と、「右端の杭に大きさ1からnの全ての円盤が積み重なっている状態」のように杭が異なる場合もそれぞれ別の状態としてカウントします。

ルール
  • 円盤は一回に一枚ずつしか移動できない。
  • 小さな円盤の上に大きな円盤を乗せることはできない。

解答形式

半角英数字と下記の半角記号で答えてください。式中にスペースを含めないでください。

使える記号
  • 「+」加算
  • 「-」減算
  • 「*」乗算
  • 「/」除算(分数)
  • 「( )」かっこ
  • 「^」冪乗
  • 「!」階乗
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初めにN枚のコインを持っています。下記のルールを守ってゲームをm回するとき、最後に持っているコインの枚数としてありえる枚数はK通りあります。このとき場合の数Kを最大化するためのmを答えてください。

ルール
  • コインゲーム筐体はn台あり一列に並んでいます。
  • 左からi番目の筐体でゲームをするにはコインをi枚消費します。
  • 1つの筐体につき一度しかゲームをできません。
  • ゲームに成功するとその筐体で消費した枚数の倍の枚数のコインが手に入ります。
  • ゲームに失敗するとコインは一枚も手に入りません。
  • 筐体は好きな順番でゲームをすることができます。
制約
  • 1mn
  • 2n
  • n2<N

解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

()+-/^!

x^(n-1)/(x+y)!

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問題文


鈍角三角形の三辺の長さが 40(N), 399(N), 401(N) である.
自然数 N の満たす条件を求めよ.

解答形式

半角で入力してください.
N の値が一意に定まる場合は, その値を入力してください.
N の値に範囲がある場合は, 最小値~最大値 という形式で入力してください.
ただし, 最大値が存在しない場合は, 最小値~ という形式で入力し, 複数の区間が存在する場合は最小値の小さいものから改行区切りで入力してください.
ex) 解答が N=17, 22N30, 330N の場合
  17
  22~30
  330~


問題文

α=20°β=5°のとき、

2sinαcos(α+β)+sinβ=

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の数値を一行目に、の数値を二行目に書いてください。

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長さnのロープがあるとき、ロープの始点と終点をくっ付けて出来る平面図形の最大の面積または近似値を求めよ。ただし、ロープは自由自在に曲げられ、無限の頂点を持つものとする。

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答えとその理由を書いてください。

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sin1° は有理数か。

解答形式

証明を簡潔に記述してください。