整数問題α

問題文

$n^2-n+1$が平方数となるような非負整数$n$を全て求めよ。

解答形式

$n$を小さい順に改行して半角で解答して下さい。
例)$n=3,7,9$の場合
3
7
9
と解答して下さい。

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

問題文

$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.

解答形式

すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。

問題文

$$
a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3)
$$

解答形式

$a_{10}$を求めなさい。

問題文

命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ

解答形式

真ならば真、偽ならば偽と入力

1 次の式を計算せよ。

(1) −5−(−3)

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

$∠BAC=30°$、$BC =3$である$△ABC $について、$AB$の最大値を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

工夫して答えなさい。

99×99＝？

${}$　西暦2025年問題第3弾です。九九表81個の数の総和を求めると2025であることが、いろいろなところで語られています。それを元にアレンジしてみました。工夫をして計算してほしいところですが、根性でもどうぞ！

解答形式

${}$　解答は求める和をそのまま入力してください。
（例）103 → $\color{blue}{103}$

$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。

問題文

次の方程式を満たす、素数 $p$ と正の整数 $n, m$ の組 $(p, n, m)$ を全て求めよ。
$$ p^n + 144 = m^2 $$

解答形式

条件を満たす組中の数字の総和を半角で入力してください