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$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について, $$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$ が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.
求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.
$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると, $$ AP=5 PH=3 ∠PBC=∠PAC $$ が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.
10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．
本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.
下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに, $$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\ BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください. ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。
$n$の値を半角で入力してください。
三角形 $ABC$ について, 内心を $I$ , $A$ に関する傍心を $I_A$ , $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ , 三角形 $ABC$ の外接円上の点であって, 点 $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします.
$AM=27,MI_A=8$ のとき, $ID$ の長さを求めてください. ただし, 答えは有理数となるため, 既約分数 $a/b$ と書いたときの $a+b$ を答えてください.
$2025$ 以下の正整数 $n$ であって， $$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$ が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．
半角数字で入力してください。
三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．
$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は採点できないので、解説を参照してください。）
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
一辺の長さが１である正方形を $n$ 個、頂点が合うように辺同士でつなげてできる図形を $n$-オミノ とする。ただし、$n=1$ の場合は１つの正方形である。また、$n$-オミノが多角形をなすとき（$n$-オミノで囲まれた領域が存在しないとき）、これを $n$-オミノ多角形 とする。
$\rm{S_n}$が$n$-オミノ多角形であるとき、$\rm{S_n}$の辺の数が2024となるような $n$ の最小値を求めよ。
答えは整数となるので、半角で入力してください。
以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。 $$ \begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases} $$
半角数字で個数を入力してください。
モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、 ・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。 ・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。 ・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。 ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、 最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。
例）半角数字で入力してください。
ある4桁の自然数ABCDに対して、$$｢CD\times BA=ABCD$$かつ$A≠0,B≠0,C≠0,D≠0$｣となるようなものを全て求めよ。(条件不十分でしたすみません)
例）出てきた解を小さい順に｢,(カンマ)｣で区切って書いてください。
