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以下の解答欄を埋めよ。
正の実数に対して定義され、実数値をとる連続関数 $f(x)$ が、任意の正の実数 $x$ に対して $$f(x^2)=f(x)+\frac{\log_2{x}}{x+1}$$ を満たしている。このとき、 $$ f(16)-f(8)=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}} $$ である。なお、このような $f$ は確かに存在し、上記の値は一意に定まることが証明できる。
解答欄ア〜オには、それぞれ0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えること。
$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.
このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください. ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.
$n>10$ とする。 $n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。
必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。
nを4以上1000以下の整数とする。1000以下の正整数の組$(a_1,a_2,…,a_n)$であって、$$a_1=\frac{a_2+a_3+a_4}{3},a_2=\frac{a_3+a_4+a_5}{3},…,a_{n-1}=\frac{a_n+a_1+a_2}{3},a_n=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$$を満たすものの個数を求めよ。
半角数字で解答してください。
線対称かつ点対称な図形Xのうち、 対称軸上に対称点がないようなものは 存在しないことを示してください。
日本語で答えてください。大意が伝われば良いです(最低限伝わるようお願いします)。
$$ p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。 $$
半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。
$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．
任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．
互いに向かい合っているような矢印は存在しない．
$3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．
条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．
半角数字で解答してください．
整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．
半角数字で入力してください．
∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。
解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。 a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。 また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。 (例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、 2 3 11 5 6 7 8
奇数回で当たる確率が $\dfrac{2}{n}$，偶数回で当たる確率が $\dfrac{3}{n}$のくじを$n$回引いた時，少なくとも1回当たる確率を $P_n$，1回以上当たった時，最初の当たりが奇数回で起こる確率を $Q_n$ とするとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}Q_n$ を求めてください.
求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. 数字は半角で入力してください.
円Oが存在して、円O上に点A,B,C,Dをこの順に配置する。角ABD、角DCAそれぞれの二等分線の交点をE、角BAC、角CDBそれぞれの二等分線の交点をF、BDとACの交点をG、△ABG、△DCGそれぞれの内心をI,I’とする。 $$AB=\frac{19}{2},EF=11,△ABI=\frac{19}{2} $$ の時、四角形EIFI’の面積を求めよ。
求める値は互いに素な正整数a,bでa/bと表せるので、a+bを解答してください。
$m$と書かれたカードからなるカードの束を$m$の束と呼ぶことにします。
$1$の束、$2$の束、$3$の束、$4$の束、$5$の束、$6$の束、$7$の束、$8$の束、$9$の束 が$1$つずつあります。
$A$さんは異なるカードの束を$9$つまで選び、その後$A$さんはこれらのカードの束に対して以下の操作を$n$回行います。 操作 選んだカードの束のうち一つを選びカードを$1$枚引く。
操作を$n$回終えた時点で$A$さんは$n$枚のカードを持っています。$A$さんは持っているカードに書かれている数字の総和と総積が等しくなるようにカードを引きたいです。
このようなカードの引き方が存在する束の選び方の総数を求めてください。
ただし、$n$は$2$以上の整数とし、カードの束にカードはいくらでもあるとします。
半角数字で入力してください。
