灘の因数分解

obenben 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2026年2月22日18:51 正解数: 4 / 解答数: 4 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
因数分解 灘
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解説

1. 式の構造を分析する

与式の前半5項に注目します。
$$x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4$$
この部分は、3項の和の2乗の公式 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ を応用すると、次のようにまとめられます。
$$(x^2 + xy + y^2)^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4 + 2x^3y + 2xy^3 + 2x^2y^2$$
$$= x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4$$

2. 置き換えによる簡略化

ここで、$x^2 + xy + y^2 = A$ と置くと、与式は次のように書き換えられます。
$$A^2 + A - 12$$

3. 因数分解の実行

この $A$ についての2次式を因数分解します。
$$(A + 4)(A - 3)$$

4. 変数を元に戻す

最後に $A$ を元の多項式に戻します。
$$(x^2 + xy + y^2 + 4)(x^2 + xy + y^2 - 3)$$

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$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
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解答形式

${}$　解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
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解答形式

$m,n$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2
12,34