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求値問題4

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年11月1日20:12 正解数: 0 / 解答数: 0 ギブアップ数: 0

解説

△ABCが直角三角形、または鈍角三角形の場合はOとHの位置関係を考えればOH//ABとはなり得ない。
$∠A>∠B$である鋭角三角形ABCを考え、CからABにおろした垂線の足をP、ABの中点をM、△ABCの重心をGとし、$AP=x,BP=y,HP=z$とおく。このとき、O,G,Hは同一直線上にあるので(オイラー線)、$CH=2z$である。また、$AM=\frac{x+y}{2},PM=HO=\frac{y-x}{2},OM=HP=z$であり、外心の性質から$OA=OC$であるので△CHOと△OAMに三平方の定理を用いて、
$$
OA^2=\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+z^2=\left(\frac{y-x}{2}\right)^2+(2z)^2=OC^2
$$
である。これを整理すると以下の式を得る。
$$
\frac{(3z)^2}{xy}=\tan A \tan B=3
$$
これを用いれば、
$$
\tan C=-\tan{(A+B)}=\frac{\tan A +\frac{3}{tan A}}{2}\geq\sqrt{\tan A \frac{3}{\tan A}}=\sqrt 3
$$
したがって、$60°<C<90°$である。