求値問題4

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年11月1日20:12 正解数: 5 / 解答数: 7 (正答率: 71.4%) ギブアップ数: 0

解説

△ABCが直角三角形、または鈍角三角形の場合はOとHの位置関係を考えればOH//ABとはなり得ない。
$∠A>∠B$である鋭角三角形ABCを考え、CからABにおろした垂線の足をP、ABの中点をM、△ABCの重心をGとし、$AP=x,BP=y,HP=z$とおく。このとき、O,G,Hは同一直線上にあるので(オイラー線)、$CH=2z$である。また、$AM=\frac{x+y}{2},PM=HO=\frac{y-x}{2},OM=HP=z$であり、外心の性質から$OA=OC$であるので△CHOと△OAMに三平方の定理を用いて、
$$
OA^2=\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+z^2=\left(\frac{y-x}{2}\right)^2+(2z)^2=OC^2
$$
である。これを整理すると以下の式を得る。
$$
\frac{(3z)^2}{xy}=\tan A \tan B=3
$$
これを用いれば、
$$
\tan C=-\tan{(A+B)}=\frac{\tan A +\frac{3}{tan A}}{2}\geq\sqrt{\tan A \frac{3}{\tan A}}=\sqrt 3
$$
したがって、$60°<C<90°$である。


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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

8月前

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問題文

鋭角三角形ABCについて,外心をO,重心をG,垂心をH,内心をIとします.
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき,$AI$の2乗を答えてください.

解答形式

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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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$$
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$$

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追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
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解答形式

半角数字で解答してください。