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[B] Symmetric Concavity

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 大学数学
2024年2月16日21:00 正解数: 3 / 解答数: 3 (正答率: 100%) ギブアップ不可
微積分 不等式 MCA
この問題はコンテスト「MCA the 1st」の問題です。

全 3 件

回答日時 問題 解答者 結果
2024年10月13日11:23 [B] Symmetric Concavity Weskdohn
正解
2024年2月18日10:21 [B] Symmetric Concavity Prime-Quest
正解
2024年2月16日23:37 [B] Symmetric Concavity halphy
正解

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問題文

N を正の整数、c>0 を定数とする。実数の組 (t1,t2,,tN) に対して関数

fn(t1,t2,,tN)=tn(1tn)(c(1+tn)Ni=1ti)   (n=1,2,,N)

を考える。また、N×N 行列 J(t1,t2,,tN)

J(t1,t2,,tN)=(f1t1f1tNfNt1fNtN)

と定義する。

N=1000, c=10001.23 として、以下の問いに答えよ。

(1)1000個の実数の組 (x1,x2,,x1000) であって、x1x2x1000 かつ

fn(x1,x2,,x1000)=0   (n=1,2,,1000)

を満たすものはいくつあるか。

(2)(1)で考えた組のうち、J(x1,x2,,x1000) の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。

解答形式

(1)の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
(2)の答えを半角数字で2行目に入力せよ。

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問題文

a>0 を定数とする。t0 で定義された実数値関数 x(t) について、以下の微分方程式の初期値問題を考える:

{x(t)=x(t)(1+{x(t)}2)2   (t0)x(0)=24, x(0)=a

(1)limt+x(t)=+ となる a の範囲は、a である。
(2)a= のとき、x(t)=34 となる t の値は t=オカ+log2 である。ただし log は自然対数とする。

解答形式

ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。

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問題文

正の整数 a,b,c

(110010001)a(100011001)b(101010001)c=(12020240124001)

を満たすとき、a+b+c の値を求めよ。

解答形式

半角数字で1行目に入力せよ。

7月前

3

問題文

f(x)=3x3(x+2)(2x+1) (2<x<0) とする
f(x) が最小値を取るときの x の値を求めよ

解答形式

解答はの形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

いつものking property(に似た)問題

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問題文

∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。

解答形式

解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。
a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。
また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。
(例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、
2 3 11 5 6 7 8

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問題

(1) 定積分

10xlogx(x+1)2dx

の値を求めよ。

(2) 関数列 fn(x)

fn+1(x)=(xx)fn(x),f1(x)=xx

で定める。定積分

10(xx)(xx)(xx)dx:=10limnfn(x) dx

の値を求めよ。ただしテトレーション xxx は底 xee<x<e1/e のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。


問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

4次関数の性質

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問題文

4次関数のグラフC:y=f(x)は2つの変曲点P,Qをもち、1本の複接線が引けて、異なる2点A(α,f(α)),B(β,f(β))が接点となる。またf(x)の4次の係数は1である。このとき、d3dx3f(x)=0の解をx=γC(γ,f(γ))、複接線をl1、直線PQl2C上の点Cにおける接線をl3l2Cの交点のうちP,Qと異なる点をそれぞれR,Sl3Cの交点のうちCと異なる点をそれぞれD,Eとおく。ただしx座標について、AよりBPよりQRよりSDよりEの方が大きいとする。

(1)直線l1,l2,l3は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比AB2:PQ2を求めよ。

(3)線分長の2乗比RS2:DE2を求めよ。

(4)直線l2Cで囲まれる部分の面積Sα,βで表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
AB2:PQ2=a:b
RS2:DE2=c:d
S=efghi(βα)j

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問題文

π1000π10013.13845 よりも大きいことを示せ

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問題文

mn を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 f(x) が次の性質をもっているとき,f(x)m,n-生成の多項式と呼ぶことにします.

  • 性質:すべての実数係数多項式 g(x)に対して,f(x)g(x)=h(xm,xn) となるような実数係数の2変数多項式 h(x,y) が存在する.

xk がすべての 10,n-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 k


です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.

解答形式

センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.


問題文

以下の漸化式で与えられる数列an,bnを考える。ただし、nは非負整数であるとし、anの初項はa0=1とする。
an+1=nk=0akank,bn+1=nk=0(k+1)akank
(1)bnanで表わせ。
(2)an+1=2(2n+1)n+2anを証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項an,bnを求めよ。
(4)limnnanを求めよ。ただしlimnlognn=limnlog(n+1)n=0を証明無しで用いても良い。

解答形式

(4)の答えを半角数字またはTeXで入力してください。
(1)~(3)についてはお手持ちの紙に解答し、解説を確認ください。

過去垢の問題(整数②)

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問題文

00分〜2359分とする時刻AB分について、60A+B,100A+Bが共に平方数となるとき、A×Bの総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。