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問題

面積が$2\sqrt{3},\angle ACB=90°,\angle ABC=30°$である$△ABC$がある。この三角形において操作$1$を行う。
操作$1$「$辺BC$を半径とし、$\angle ABC$を中心角とする$扇形D_{1}BC$($BD_{1}=BC$)を$△ABC$内につくり、$点D_{1}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点E_{1}$とする。$辺BD_{1}$を直径とし、中心角が$60°$である$扇形D_{1}F_{1}E_{1}$($D_{1}F_{1}=E_{1}F_{1}$)をつくる。
このとき$△ABC-扇形D_{1}BC$を$図形X_{1}$,$扇形D_{1}BC-(扇形D_{1}F_{1}E_{1}+△BE_{1}F_{1})$を$図形Y_{1}$,$扇形D_{1}F_{1}E_{1}-△D_{1}E_{1}F_{1}$を$図形Z_{1}$とする。」

次に操作$n$($2\leq n$)を永遠に行う。
操作$n$「$辺BD_{n-1}$を半径とし、$\angle ABC$を中心角とする$扇形D_{n}BE_{n-1}$($BD_{n}=BE_{n-1}$)を$△ABC$内につくり、$点D_{n}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点E_{n}$とする。$辺BD_{n}$を直径とし、中心角が$60°$である$扇形D_{n}F_{n}E_{n}$($D_{n}F_{n}=E_{n}F_{n}$)をつくる。
このとき$△ABC-扇形D_{n}BE_{n-1}$を$図形X_{n}$,$扇形D_{n}BE_{n-1}-(扇形D_{n}F_{n}E_{n}+△BE_{n}F_{n})$を$図形Y_{n}$,$扇形D_{n}F_{n}E_{n}-△D_{n}E_{n}F_{n}$を$図形Z_{n}$とする。」

このとき、$図形X,X_{1},X_{2},\cdots$,$図形Y,Y_{1},Y_{2},\cdots$,$図形Z,Z_{1},Z_{2},\cdots$の面積をそれぞれ求めよ。

解答形式

一行目に$図形X,X_{1},X_{2},\cdots$を、二行目に$図形Y,Y_{1},Y_{2},\cdots$を、三行目に$図形Z,Z_{1},Z_{2},\cdots$を答えてください。
ただし、それぞれ自然数$a,b,c$を用いて$-a\sqrt{b}+c\pi$又は$a\sqrt{b}-c\pi$と表せるので、$a+b+c$の値を求めてください。

問題文

大きい円Oと小さい円O‘が接している。また、直線lにも接している。
円Oと円O’の面積がそれぞれ9π㎠、π㎠である時、次の(ア)〜(エ)に当てはまる数字、もしくは記号を答えなさい。ただし、一つの()内の数字は2桁である場合がある。
(例)ウの中身が2√3-1
「斜線部の面積は$(ア)\sqrt{(イ)}-\frac{(ウ)}{(エ)}$
である」

解答形式

行ごとに採点をするため、(ア)〜(エ)ごとに行を変えて答えなさい。
例↓
3
5
√17
3
など

特殊な記号は以下のものをコピペしてください。
+
-
×
÷
π
√

問題文

四角形ABCDは一辺が4の正方形である。ABの中点をOとする。弧BDは頂点Cを中心とし、CDを半径とする円の一部である。半円ABはOを中心とし、BCを直径とする円の一部である。
頂点Bとは異なる弧BDと半円ABの交点をPとする。また、OPの延長線とADの交点をEとする。
次の(ア)〜(ウ)に当てはまる数を答えなさい。

(1)角OPC=$(ア)$ °である

(2)DE＝$\sqrt{\frac{(イ)}{(ウ)}}$である

四角形ABCDと同じ図である、四角形A‘B’C‘D’をDCとB‘C’が共有するように置いた。また、四角形A‘B’C‘D’においてOはO’となり、PはQになる。
次の(エ)〜(キ)に当てはまる数を答えなさい。

(3)角QO‘R＝90°となるような点Rを弧QB‘上にとった。この時角QRP＝$(エ)°$である

(4)QP＝${(オ)}\sqrt{(カ)}$である

(5)図形AOPQO‘の面積は$\sqrt{(キ)}$である

解答形式

行ごとにジャッジするため、
1行目に(1)に当てはまる数の和を答える、2行目に(2)に当てはまる数の和を答える､､､などのようにして答えなさい。(5)まであるので全部で5行しか使わない。
(例)
(ア)＝5、(イ)=2、(ウ)=3、(エ)＝4の時、
↓
5
5
4
と答えれば良い。

問題文

△ABCは角ACB＝90°、角ABC=30°の直角三角形である。また、BC=$\frac{123\sqrt{3}+9921}{4}$でもある。
弧PCはBCを半径とする円の一部であり、弧PQはBPを直径とする円の一部である。
この時、次の面積の値を求めなさい。

(あ)-(い)

解答形式

答えのみを答えてください。√を含む場合はカタカナでルートと答えてください。
マイナスはハイフンを用いてください。プラスは以下の記号をコピペしてご利用ください。
+

(例)
2√3
↓
2ルート3
と答えてください

(2-√2)/2
↓
(2-ルート2)/2
と答えてください

問題文

半径が2である大円Oとその中心上を通る小円O‘がある。また、それぞれの円周の交点をA、Bとする。
小さい方の弧AB上に弧AP:弧PB＝1:2となるような点Pをとると、角APB＝135°になりました。
次の(ア)〜(カ)に当てはまるものを(1)〜(18)の中から選びなさい。同じものを選んでも良いものとする。

この時、色が塗られた面積(大円と小円が重なっている部分の面積)を求めると
$\frac{(ア)\sqrt{(イ)}}{(ウ)}-\frac{\sqrt{(エ)}+(オ)}{(カ)}$
になります

(1)$i$
(2)$\pi$
(3)$e$
(4)3
(5)2
(6)6
(7)5
(8)7
(9)8
(10)13
(11)16
(12)19
(13)15
(14)25
(15)21
(16)32
(17)20
(18)35

解答形式

(ア)〜(カ)に当てはまる()ないの数字を全て足して答えなさい。
(例)
(ア)に入るのが(1)
(イ)に入るのが(2)
(ウ)に入るのが(3)
の場合
1+2+3=6より
6と答えれば良い

問題文

半径が共に10である円Oと円O‘があり、それぞれの中心にそれぞれの円周が重なっている。また、円Oと円O’の円周の交点をそれぞれA、Bとする。
円PはABを直径とする円である。
次の(ア)〜(エ)に当てはまる数字を求めなさい。

斜線部の面積は$\frac{(ア)}{(イ)}\pi+(ウ)\sqrt{(エ)}$である

解答形式

(ア)〜(エ)に当てはまる数の和を答えてください。

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $AB$ を直径とする円を $\omega_{1},$ 点 $B$ で直線 $AB$ に接し，点 $C$ を通る円を $\omega_{2}$ とします．また，$\omega_{1}$ と $\omega_{2}$ の交点のうち $B$ でないほうを $D$ とし，直線 $AD$ と直線 $BC$ の交点を $E$ とします．この時，次のことが成り立ちました．
$$BD=6,DC=4,CB=8$$
$\omega_{1},\omega_{2},$ 三角形 $CDE$ の外接円の中心をそれぞれ $O_{1},O_{2},O_{3}$ とするとき，三角形 $O_{1}O_{2}O_{3}$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ と平方因子を持たない正の整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を回答してください．

問題

一次関数のグラフ$l$、反比例のグラフ$m$、$y=\frac{9}{4}x$のグラフ$n$があり、全て$点A$を通る。
また、$l$と$m$の交点で$点A$でない点を$点B$とする。$線分AB$を直径とする$円O$の円周上に$点C(-15,-\frac{15}{2})$、$点D(3,-\frac{15}{2})$、$点E(6,-\frac{9}{2})$がある。$m$と$n$の交点を$点F$とするとき、$点A,B,F,E$を結んでできた$四角形ABFE$の面積を求めよ。ただし($点A$の$x$座標)$>0>$($点F$の$x$座標)とする。

問題文

角xの大きさを求めなさい

上の図は4×4マスの正方形とそれに内接する円でできている。縦の線を左からA、B、C、D、Eとし、横の線を上からF、G、H、I、Gとする。
点は交点を表している。
追記:縦線Bと横線Iとの交点にも点がありましたが、つけ忘れてしまいました。

解答形式

角度を表す「°」は入りません。数字のみを答えればOKです。
小数が出てきた場合、小数点は省略して答えてください。
100.5°→1005

問題文

$6$ 点 $A,B,C,D,E,F$ がこの順に同一円周上にあり、$AB=BC,CD=DE,EF=FA$ を満たす。このとき、$3$ 直線 $AD,BE,CF$ は一点で交わることを証明せよ。

解答形式

証明文を書く！

問題文

△ABC とその外接円 O があり、OA = 3、AB = 4 である。半直線 AO と線分 BC が交わるように点 C をとり、その交点を D とする。BD : DC = 2 : 1 となるときの OD の長さを全て求めなさい。ただし、点 C は弧 AB 上にないものとする。

解答形式

答えはある整数 $a, b, c$ を用いて$$\rm{OD} = \frac{b \pm \sqrt{c}}{a}$$と表せるので、一行目に $a$、二行目に $b$、三行目に $c$ を半角で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ （端点を除く）上にそれぞれ点 $P , Q$ があり，直線 $BC , PQ$ は，半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています．また，線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり， $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています．いま，直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち，$A$ でない方を $X$ としたところ，$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$，$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました．このとき，$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．