数学の問題一覧

問題文

級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.

解答形式

収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.

問題文

$2^{p}+7^{q}=r^{p+q-r}$を満たす素数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

解答形式

文字列$pqr$を，半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，
(1)　$p$の値が小さい順
(2)　$p$の値が等しい組は，$q$の値が小さい順
(3)　$p,q$の値がともに等しい組は，$r$の値が小さい順
に，1行に1つずつ書いてください．

追記

どなたか素数に限らない整数解を全て求めてくださるとありがたいです．

${}$　西暦2023年問題第7弾、今年最後の西暦問題です。ラストを飾るのは循環小数です。循環小数というテーマ自体が奥深いわけですが、その一端を味わえるようにしました。どうぞ最後までお付き合いください。

お知らせ

${}$　いつもの図形問題ですが、明日1月8日(日)は出題をお休みして、翌週1月15日(日)から再開する予定です。お待たせしていますが、またどうぞよろしくお願いします。

解答形式

${}$　解答は、$N$の値をそのまま入力してください。「$N=$」の記載は不要です。
（例） $N=107$ → $\color{blue}{107}$

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

以下の多重根号を簡略化せよ。

2022/12/09 訂正:

難易度やnaoperc様よりご指摘いただいた根号の指数の誤りなど複数箇所を訂正しました.

2023/02/11 訂正:

問題文, 解答形式の文章を他の問題と統一しました. 解答に影響はありません.

2023/03/21 訂正:

解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.

解答形式

スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.

問題文

次の計算をせよ．

$$
\sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad
$$

ただし，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする．

解答形式

解答は整数となります．そのまま半角で入力してください．

問題文

$\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{5}{9}\pi}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{7}{9}\pi}=-\dfrac{a}{b}$ ( $a,b$ は互いに素な自然数)である．

$a+b$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください。

簡単です．教科書にもありそうなつまらない問題ですが，一応2通りの解法を用意しているので，考えていただけたら幸いです．

問題文

$2^{p+q}-p^{q}=13$を満たす素数$\left(p,q\right)$をすべて求めよ．

解答形式

$p^{2}+q^{2}$の値を，半角数字で解答してください．答えが複数ある場合は，値の小さい順に，1行に1つずつ書いてください．

（例）
解答が$\left(p,q\right)=\left(2,7\right),\left(5,11\right)$のときは，以下のように解答します．

53
146

問題文

73²⁰²³を17で割った余りを求めよ。

解答形式

半角で答えてください

問題文

3辺がそれぞれ3,√2,√10である不等辺三角形から成る等面四面体𝑋が存在する。三角形の面積を𝑝、𝑋に内接する球体の半径を𝑞とするとき、𝑞を𝑝を用いて表せ。

解答形式

𝑞=√a/b𝑝となります。
a+bを半角で答えてください

問題文

三角形$ABC$の内部に点$P$があり，$\angle ABP=42^\circ$，$\angle CBP=42^\circ$，$\angle ACP=6^\circ$，$\angle BCP=12^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle BAP$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．

$x$に当てはまる数を求めよ．

解答形式

解答のみを，半角数字で答えてください．

問題文

$n$を$5$以上の自然数とする。
$a_{1}+a_{2}+a_{3}<a_{4}+a_{5}\leq n$ を満たす自然数の組$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})$は何通りあるか。

解答形式

答えは$\frac{\fbox{あ}n^5-\fbox{い}n^4+\fbox{う}n^3-\fbox{え}n^2+\fbox{お}n}{\fbox{か}}$と表せます。
この分数式が既約な形になるように、それぞれの文字に当てはまる整数を、半角数字で、五十音順に改行して答えてください。
(例)$\fbox{あ}=2,\fbox{い}=10,\fbox{う}=4$と回答する場合
2
10
4