次の行列 A に対して等式 A5=aA2+bA+cI が成立するる実数 a,b,c を求めなさい. ただし, I は 3×3 単位行列である.
A=(011−101−1−10)
a,b,c を空白で区切って1行に入力してください. 例えば (a,b,c)=(7,15,92) であれば解答として 7 15 92
を入力してください.
a>0 を定数とする。t≥0 で定義された実数値関数 x(t) について、以下の微分方程式の初期値問題を考える:
{x″(t)=−x(t)(1+{x(t)}2)2 (t≥0)x(0)=√24, x′(0)=a
(1)limt→+∞x(t)=+∞ となる a の範囲は、a≥ア√イウ である。
(2)a=ア√イウ のとき、x(t)=34 となる t の値は t=エオカ+キクlog2 である。ただし log は自然対数とする。
ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。
関数 f:(0,∞)→(0,∞) は C2級で、任意の x>0 に対して
f(1)=1, f(1x)=f(x)x, d2dx2f(x)≤0, d2dx2(1f(1x))≤0
をすべて満たすとする。このような f に対し
I[f]=∫212f(x)dx
を考える。
(1)I[f] の最大値は アイウエ である。
(2)I[f] の最小値は オ−カlogキ である。ただし log は自然対数である。
ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、対数の中身が最小となるように答えよ。
N を正の整数、c>0 を定数とする。実数の組 (t1,t2,…,tN) に対して関数
fn(t1,t2,…,tN)=tn(1−tn)(c(1+tn)−N∑i=1ti) (n=1,2,…,N)
を考える。また、N×N 行列 J(t1,t2,…,tN) を
J(t1,t2,…,tN)=(∂f1∂t1⋯∂f1∂tN⋮⋱⋮∂fN∂t1⋯∂fN∂tN)
と定義する。
N=1000, c=10001.23 として、以下の問いに答えよ。
(1)1000個の実数の組 (x1,x2,…,x1000) であって、x1≤x2≤…≤x1000 かつ
fn(x1,x2,…,x1000)=0 (n=1,2,…,1000)
を満たすものはいくつあるか。
(2)(1)で考えた組のうち、J(x1,x2,…,x1000) の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。
(1)の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
(2)の答えを半角数字で2行目に入力せよ。
正の整数 a,b,c が
(110010001)a(100011001)b(101010001)c=(12020240124001)
を満たすとき、a+b+c の値を求めよ。
半角数字で1行目に入力せよ。
定点 P0, P があり, P0P=1 を満たしている.
線分 P0P の中点を P1,
線分 P1P の中点を P2,
線分 P2P の中点を P3, ... というように, n∈N に対し, 点 Pn を 線分 Pn−1P の中点として, 線分 P0P 上に無数の点をとる. いま, このようにしてできた全ての点が同時に出発して, 点 Pn が点 Pn−1 を中心として円を描くように動くとき, limn→∞Pn が描く曲線の長さを求めよ.
ただし, 線分 P0P1 が線分 P0P に対してなす角,
線分 P1P2 が線分 P0P1 に対してなす角,
線分 P2P3 が線分 P1P2 に対してなす角, ...
線分 PnPn+1 が線分 Pn−1Pn に対してなす角の変化はすべて等しく, 一定の割合であるとする.
tima_C様のご指摘を受け、難易度を変更しました.
解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.
スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて LATEX 形式で解答してください. $は必要ありません.
ただし, 文字や根号などの係数が分数の場合は
32x→3x2
のように, 文字を分子にまとめてください.