数学の問題一覧

問題文

半径$66$の円に内接する正$66$角形の対角線(各辺も含む)の長さの$66$乗和を求めて下さい．
但しある長さの$𝑛$乗和とは，与えられた長さ$𝑃_1,𝑃_2…$について$𝑃_1^n + 𝑃_2^n …$を指します．

解答形式

答えは非常に大きくなる恐れがあるので,$2025$で割った余りを求めて下さい.
4/26 19:55 誤った答えが入力されていました。大変申し訳ありません。

${999}$を2以上の最小の$2$つの立方数の差で表せ。

問題を一部訂正しました。毎度毎度誠に申し訳ございません。問題ミスがあったためこれまでの解答は正解にしました。

解答形式

a>b>1の自然数を用いてa^3-b^3というふうに表せるのでabと2つの整数を連続して半角で書いてください。
(例:15^3-3^3なら解答は153)

問題文

$AB＜AC$の鋭角三角形$ABC$があり垂心を$H$，外心を$O$とする．
直線$AO$と$BC$の交点を$D$とすると$AB：BD＝5：3，CH＝27，AH＝19$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

非負整数$n$に対し関数$f$を次のように定める。

$$f(n) = \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$

$1$から$2020$までの整数について$f(n)$が整数となるような$n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力せよ。

問題文

任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

解答形式

整数で回答してください.

問題文

$AB=15，AC=24$の鋭角三角形$ABC$があり内心を$I$，垂心を$H$とすると
$4$点$BCHI$は同じ円 $Γ$上にあった.このとき円 $Γ$の半径の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

正の実数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ に対し, $a_1=b_1=1
$ および $n=1,2,3,4,5$ について以下を満たす実数の組の列 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_6,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
$b_6=100$ となるとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.

問題文

凸四角形$ABCD$の対角線$AC$上に点$E$があり，$\angle BAC=30^\circ$，$\angle ABE=110^\circ$，$\angle CBE=20^\circ$，$\angle DAC=10^\circ$，$\angle ADE=10^\circ$がそれぞれ成り立っている．このとき，$\angle CDE$の大きさを度数法で表すと，$x^\circ$となる．

$x$に当てはまる数を求めよ．

※3通りの解法を用意しています．難しくはないので，いろんな方向からアプローチしてみてください．

解答形式

解答のみを，半角数字で答えてください．

問題文

$R_{a}をa$桁のレピュニット数とします.
$R_{24}$を素因数分解しなさい.
但しレピュニット数とは,各桁が全て$1$である数のことを指します.

解答形式

ある相異なる正整数$a_{1}…a_{10}$を用いて,
$R_{24}=a_{1} \times a_{2} \times … \times a_{10} $と書けるので,$a_{1}+…+a_{10}$の値を求め,その値を半角数字で入力して下さい.

問題文

$\:2024≧a>b>c≧1\:$なる正整数の組$\:(a,b,c)\:$であって､$x^a+x^b+x^c+1\:$が$\:(x+1)\:$を因数に持つようなものは何通りあるか解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

三角形 $ABC$ があり， $ \angle ACB$ の二等分線と $AB$ の交点を $D$ とし，線分 $BC$ 上に点 $P$ ，線分 $AC$ 上に点 $Q$ をとると相異なる $4$ 点 $A,C,D,P$と$B,C,D,Q$ はそれぞれ共円であり $CP＝3,CQ＝4,AB＝15$ が成立した．このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

【補助線主体の図形問題 #013】
　今日は和算的な構図の問題を用意してみました。計算量は大したことがないのですが、暗算ではちょっと厳しいかもしれません。簡単な計算用紙をお手元にご用意の上お楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体方針をぼんやりと
2. ヒント1の内容を具体的に
3. ヒント2の続き
4. ヒント3の続き