数学の問題一覧
問題文
正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)
解答形式
半角数字で解答して下さい.
問題文
$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．
解答形式
非負整数を解答してください．
問題文
正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ が、任意の正の実数 $x,y$ に対して
$$
f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{x+y+1}
$$
を満たすとき
$$
f\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカキ}}
$$
である。
解答形式
ア〜キには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．
問題文
AB=36, AC=24の△ABCがあり線分ABを2:1に内分する点D, 線分ACを3:1に内分する点EをとりBEとCDの交点をPとするとAP=14であった.
このときBCの長さの2乗を求めよ。
解答形式
例）半角で解答して下さい。
問題文
下図で、六角形ABCDEFは正六角形、点L,H,G,I,K,Jは六角形ABCDEFの辺の中点です。赤い部分の面積が72㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。
解答形式
半角数字で入力してください。
例）10
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誤りがあったため、解答を修正しました。迷惑をおかけして申し訳ありません。
問題文
これまでのあらすじ (読まなくてもこの問題を解くことが出来ます)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/12
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/15
勇者・しおしおの飛ばされた異世界では、将棋に草将と言う駒が追加されていました。
この駒は、以下に示された $6$ マスのいずれかに $1$ 手で移動できます。
この異世界での将棋は盤面がデカすぎてクソゲーだったので、しおしおは別の遊びを考えました。
白と黒の $2$ 色で塗られた $9×9$ の盤面について、良い盤面を以下のように定義します。
最下段の黒いマスから上手く選んで草将を置くと黒いマスの上だけを草将が移動して最上段の黒いマスのどれかに行く事が出来る。
以下に具体例を示します。
①の盤面では右から三列目に草将を置き矢印に沿って草将を移動させることで左から二列目の最上段の黒マスに到達できるので良い盤面です。
②の盤面も矢印のように草将を動かせるので同様に良い盤面です。
③の盤面ではどのようにしても最上段の黒いマスにたどり着けないので良い盤面ではありません。
④の盤面はそもそも最下段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。
⑤の盤面も最上段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。
全てのマスが白い盤面に対して、白マスをランダムに $1$ つ選んで黒マスに変更するという操作を良い盤面になるまで繰り返す時、最終的な盤面の黒マスの数の期待値を求めてください。ただし、答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので$a+b$を解答してください。
解答形式
半角で正整数を解答してください
【補助線主体の図形問題 #033】
今週はちょいと重めの問題にしてみました。計算に至る準備過程が長いのですが、補助線や方針がうまいことハマれば計算量はごくわずかで済みます。五心が生み出す豊かな性質をお楽しみください。
解答形式
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #030】
今週は正多角形を組み合わせた求角問題を用意しました。ある仕掛けを見破れば余裕で暗算可能です！ 補助線と共に試行錯誤をお楽しみください。
解答形式
${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$ $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
入力を一意に定めるための処置です。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。