数学の問題一覧
問題文
あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており，以下を $2022$ 回繰り返します．
- 残っている人の中からランダムに（等しい確率で）二人を選ぶ．その後，二人が対戦し，どちらかがゲームから脱落する．参加者の実力は同じであるため，脱落する側は等しい確率で選ばれる．
このとき，最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください．ただし，求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため，$a+b$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
実数上の二項演算である「見せ算」を次のように定義します（今回は見せ算の中でも初等的な性質のみ扱います。）
$$
x \spadesuit y= \begin{cases} y & (x<y) \\ 0 & (x= y)\\ x & (x> y) \end{cases}
$$
この見せ算では結合法則が成り立たたず、計算順序により眼(答え)が変わる事があります。例えば、$((4 \spadesuit 4) \spadesuit 3)=3$ ですが、$(4 \spadesuit (4 \spadesuit 3))=0$ です。
数列 $(a_1,a_2,...,a_n)$ であって、$a_1\spadesuit a_2\spadesuit ....\spadesuit a_n$ をどんな順序で計算しても眼(答え)が変わらない数列を 全不変眼数列 と呼びます。
例えば、$(0,4,0,1)$ はどのような順序で計算しても眼が $4$ になるので 全不変眼数列 ですが、$(1,2,2,1)$ は $(((1 \spadesuit 2) \spadesuit 2) \spadesuit 1)=1$、 $(1 \spadesuit ((2 \spadesuit 2) \spadesuit 1))=0$ であるため 全不変眼数列 ではありません。
長さが $24$ で、$0,1,2,3$ を要素としてそれぞれ $6$ つずつ持つような 全不変眼数列 はいくつありますか？
解答形式
半角で解答してください
問題文
$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
解答形式
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。
問題文
$ $ ある教室には，縦 $6$ 列，横 $3$ 列で横長の机が並んでおり，$1$ つの机ごとに横並びに $2$ つずつ座席があるため，$36$ 個の座席と $18$ 個の机があります．$A$ くん，$B$ くん，$C$ くんの $3$ 人が，それぞれ $36$ 個の座席から $1$ つずつ異なる座席を選び座ります．
$ $ ここで，以下の条件を満たしました．
- $B$ くんは，$A$ くんの座っている座席のある机から縦の列で見たときに $3$ 列以上後ろの机にある座席のみに座る．例えば，$A$ くんが縦 $1$ 列目の机にある座席に座っている場合，$B$ くんは縦 $4,5,6$ 列目の机にある座席に座っていることになる．
- 机の縦の列，横の列どちらで見たときも，$3$ 人は全員相異なる列の机にある座席に座っている．
$ $ このとき，$3$ 人の座席の座り方は全部でいくつありますか？
解答形式
非負整数を半角で解答してください．
問題文
$1$文字目と$3$文字目が等しく、$2$文字目と$4$文字目が等しい$4$文字の文字列をしましま文字列と呼ぶことにします。
例えば「しましま」や「bcbc」や「aaaa」はしましま文字列ですが、「もじれつ」や「ababa」や「abac」などはしましま文字列ではありません。
しましまは嘘の競技数学コンテストUSOMOを懲りずに毎年開いているので、ついにHONTOMOの元日本代表のアンチがついてしまいした(悲しい...)
しましま文字列を（連続しなくても良い）部分文字列として持たない文字列をアンチしましま文字列と呼ぶことにします。
例えば「ししまま」や「abcbba」や「abcdefgcc」はアンチしましま文字列ですが、「しましまし」や「abbcbba」や「acbadb」はアンチしましま文字列ではありません。
15文字のアンチしましま文字列であって全ての文字が a,b,c,d,e の5文字のうちのいずれかであるような文字列はいくつ存在しますか？
解答形式
非負整数を半角で入力してください
問題文
$ $ 地理奈ちゃんは，$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています．
$ $ そこで，以下のルールをすべて守った数列を，良い数列と呼ぶことにします:
- $1$ 以上 $9$ 以下の整数から $3$ つを選んでいる数列である．
- その数列は公差が $0$ でない等差数列である．
- 数列のどこか $1$ 項に必ず $1$ を含んでいる．
$ $ この時，良い数列は全部でいくつありますか？
解答形式
非負整数を半角で解答してください．
問題文
$ $ p,d,q,b,a,e,s の $7$ 文字を使い，$6$ 文字の文字列を作ることを考えます．(使わない文字が必ず $1$ 文字以上出てきます．)
$ $ 文字列において，$1,6$ 文字目，$2,5$ 文字目，$3,4$ 文字目が後述の対応する文字どうしになるようにする必要があります．
$ $ 対応する文字は以下のとおりです．
- p と d
- q と b
- a と e
- s と s
$ $ なお，d と p のように，対応する文字どうしであり指定された文字目に $2$ 文字がいれば文字列内で順序が入れ替わってもよいものとします．
$ $ また，この文字列内において，同じ文字を使えるのは $2$ 回までとします．
$ $ 以上の条件を全て満たした文字列は全部でいくつありますか？
解答形式
非負整数を半角で解答してください．
問題文
$ $ $3×4$ で構成された $12$ マスのマス目があります．すべてのマスが，初期状態では白色になっています．これらのマスを，灰色あるいは黒色に塗ることを考えます．
$ $ マスを塗るためには持ち点を消費します．持ち点は初期状態では $12$ 点です．
$ $ マス目の色は，以下の通りに塗り替えることができます:
- 持ち点を $1$ 消費して，任意の白色のマスを $1$ つ灰色にする．
- 持ち点を $1$ 消費して，任意の灰色のマスを $1$ つ黒色にする．
- 持ち点を $2$ 消費して，任意の黒色のマスを $1$ つ白色に戻す．
$ $ また，マス目を塗る上で以下を守る必要があります:
- 全ての持ち点を過不足なく消費しなければならない．
- 全ての持ち点を消費したとき，全てのマスが白色であってはならない．
$ $ このとき，全ての持ち点を消費した後のマス目の塗られ方は全部で何通りありますか？
$ $ ただし，反転・回転して一致するものは区別します．
解答形式
非負整数を半角で解答してください．
【補助線主体の図形問題 #005】
今回の図形問題は入試問題にもありそうな設定にしてみました。暗算でも処理しやすいように数値を調整してあります。腕に覚えのある方は頭の中だけで処理しきってみてください。
解答形式
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\jsim{\mathrel{\unicode[sans-serif]{x223D}}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
ヒントの予告
- 大雑把な方針
- ヒント1をやや具体的に
- ヒント2の続き