22で割って余りが20となる20^22の約数

${}$　西暦2022年問題第6弾です。第5弾から変化したのは1ヶ所のみ、「20桁の自然数」を「21桁の自然数」に変えただけです。この1ヶ所の変化が何をもたらすのか、ぜひご自身の手でご確認ください。

解答形式

${}$　解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
（例） $106$ 個 → $\color{blue}{106}$
　なお、解法によってはやや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

${}$　西暦2022年問題第5弾です。当シリーズも後半ということで、極端に数を大きくしてみました。とはいえ、もちろん手計算で処理しきれるように仕込みは上々です。どうぞ0と2だらけの数たちをお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
（例） $105$ 個 → $\color{blue}{105}$
　なお、解法によってはやや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

訂正とお詫び

（2022年1月28日23時17分）
　出題から3週間余り、問題文に不正確な記述がありました。お詫びするとともに上記のように訂正いたします。不要に迷ってしまった方もいらっしゃるかもしれません。申し訳ございませんでした。
　なお、修正前の問題文をご覧になりたい場合はこちらからどうぞ。
https://twitter.com/tb_lb/status/1478365250269622276

${}$　西暦2022年問題第4弾です。今回は2022が満たす性質をちょいと替えてみるという手法で問題を作ってみました。ド根性ではなく、できるだけ計算の手間が減るような解法を楽しんでもらえたら嬉しいです。

解答形式

${}$　解答は$n$の値をそのまま入力してください。「$n=$」の記載も不要です。
（例） $n=104$ → $\color{blue}{104}$
　なお、やや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

問題文

正方形と正三角形を組み合わせた図のような図形について, 青で示した角の大きさを求めてください.

解答形式

0以上180未満の整数を半角数字で解答してください。
ただし度数法で、単位を付けずに解答してください。

問題文

2つの正方形が図のように配置されています。赤と青の面積の差が$11$のとき、紫と橙の面積の差を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

正方形と正三角形を組み合わせた以下の図において、青で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。
解答は度数法で、単位を付けずに0以上180未満の整数として解答してください。

問題文

$\quad$
鈍角三角形の三辺の長さが $40_{(N)},$ $399_{(N)},$ $401_{(N)}$ である.
自然数 $N$ の満たす条件を求めよ.
$$\quad$$

解答形式

半角で入力してください.
$N$ の値が一意に定まる場合は, その値を入力してください.
$N$ の値に範囲がある場合は, 最小値~最大値 という形式で入力してください.
ただし, 最大値が存在しない場合は, 最小値~ という形式で入力し, 複数の区間が存在する場合は最小値の小さいものから改行区切りで入力してください.
$\mathrm{ex})$ 解答が $N=17,~22≦N≦30,~330≦N$ の場合
　　17
　　22~30
　　330~

問題文

半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。

※平行四辺形の一辺と半円は接する。

解答形式

$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。

問題文

初めに$N$枚のコインを持っています。下記のルールを守ってゲームを$m$回するとき、最後に持っているコインの枚数としてありえる枚数は$K$通りあります。このとき場合の数$K$を最大化するための$m$を答えてください。

ルール

• コインゲーム筐体は$n$台あり一列に並んでいます。
• 左から$i$番目の筐体でゲームをするにはコインを$i$枚消費します。
• 1つの筐体につき一度しかゲームをできません。
• ゲームに成功するとその筐体で消費した枚数の倍の枚数のコインが手に入ります。
• ゲームに失敗するとコインは一枚も手に入りません。
• 筐体は好きな順番でゲームをすることができます。

制約

• $1 \le m \le n$
• $2 \le n $
• $ n^2 < N $

解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

()+-/^!

例

x^(n-1)/(x+y)!

問題文

半円の内部に正方形を2つ、図のように配置しました。赤い線分の長さ（＝2つの正方形の一辺の差）が3であるとき、青で示した部分の面積と緑で示された部分の面積の差を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$x,y,z$は全て正の実数とします。次式で定義される$f(x,y,z)$について、次の値を求めてください。$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{y+z}+\frac{1+y^2}{z+x}+\frac{1+z^2}{x+y}$$
$(1)$ $f(x,y,z)$の最小値
$(2)$ $x+y+z=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値
$(3)$ $x^2+y^2+z^2=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値

解答形式

$(1)$の答えは$\fbox ア$、$(2)$の答えは$\fbox イ$、$(3)$の答えは$\fbox ウ\sqrt{\fbox エ}$です。
文字列「アイウエ」を解答してください。

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。