22で割って余りが20となる20^22の約数

${}$　西暦2022年問題第6弾です。第5弾から変化したのは1ヶ所のみ、「20桁の自然数」を「21桁の自然数」に変えただけです。この1ヶ所の変化が何をもたらすのか、ぜひご自身の手でご確認ください。

解答形式

${}$　解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
（例） $106$ 個 → $\color{blue}{106}$
　なお、解法によってはやや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

${}$　西暦2022年問題第5弾です。当シリーズも後半ということで、極端に数を大きくしてみました。とはいえ、もちろん手計算で処理しきれるように仕込みは上々です。どうぞ0と2だらけの数たちをお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
（例） $105$ 個 → $\color{blue}{105}$
　なお、解法によってはやや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

訂正とお詫び

（2022年1月28日23時17分）
　出題から3週間余り、問題文に不正確な記述がありました。お詫びするとともに上記のように訂正いたします。不要に迷ってしまった方もいらっしゃるかもしれません。申し訳ございませんでした。
　なお、修正前の問題文をご覧になりたい場合はこちらからどうぞ。
https://twitter.com/tb_lb/status/1478365250269622276

${}$　西暦2022年問題第4弾です。今回は2022が満たす性質をちょいと替えてみるという手法で問題を作ってみました。ド根性ではなく、できるだけ計算の手間が減るような解法を楽しんでもらえたら嬉しいです。

解答形式

${}$　解答は$n$の値をそのまま入力してください。「$n=$」の記載も不要です。
（例） $n=104$ → $\color{blue}{104}$
　なお、やや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

【補助線主体の図形問題 #022】
　まもなく迎える7月22日は、$\dfrac{22}{7} = 3.\overline{142857} \fallingdotseq \pi$ から「円周率近似値の日」とされています。今回は円周率近似値の日を少し先取りして円だけで構成された問題を用意しました。暗算解法もいつも通り用意しています。補助線と共にしばし図形問題をお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針
2. 補助線の方針
3. 補助線を活かす視点をぼんやりと
4. ヒント3の続き

【補助線主体の図形問題 #021】
　今回は久しぶりに面積関係の問題を用意してみました。複雑な計算は必要ありません。腕に覚えのある方はぜひ脳内だけでの処理に挑戦してみてください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\jpara{\mathrel{\unicode{x2AFD}}}
\def\paraeq{\mathrel{\style{transform:translateY(-0.4em)}{\scriptsize{/\!/}} \hspace{-0.7em}{\style{transform:translateY(0.1em)}{=}}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. ヒント2から導けること・その1
4. ヒント2から導けること・その2

問題文

半円の内部に正方形を2つ、図のように配置しました。赤い線分の長さ（＝2つの正方形の一辺の差）が3であるとき、青で示した部分の面積と緑で示された部分の面積の差を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

初めに$N$枚のコインを持っています。下記のルールを守ってゲームを$m$回するとき、最後に持っているコインの枚数としてありえる枚数は$K$通りあります。このとき場合の数$K$を最大化するための$m$を答えてください。

ルール

• コインゲーム筐体は$n$台あり一列に並んでいます。
• 左から$i$番目の筐体でゲームをするにはコインを$i$枚消費します。
• 1つの筐体につき一度しかゲームをできません。
• ゲームに成功するとその筐体で消費した枚数の倍の枚数のコインが手に入ります。
• ゲームに失敗するとコインは一枚も手に入りません。
• 筐体は好きな順番でゲームをすることができます。

制約

• $1 \le m \le n$
• $2 \le n $
• $ n^2 < N $

解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

()+-/^!

例

x^(n-1)/(x+y)!

問題文

半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。

※平行四辺形の一辺と半円は接する。

解答形式

$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。

【補助線主体の図形問題 #006】
　投稿日である今日3月14日は、円周率$\pi$の近似値 $3.14$ になぞらえて「円周率の日」と定められています。ということで「円周率の日」記念に円多めの問題を用意しました。
　補助線が活躍するのはいつも通りです。ちょっとした知識があると暗算で処理可能ですが、そうでなくとも大した計算量ではありません。どうぞ円まみれのお時間を楽しんでいただければ幸いです。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針をぼんやりと
2. ヒント1の内容をやや具体的に
3. ヒント2の続き

【補助線主体の図形問題 #004】
　今日の図形問題は正方形をたっぷりと並べてみました。座標幾何や複素数平面に落とし込みたい誘惑を断ち切って補助線解法を堪能していただけたら本望です。うまく引ければ余裕で暗算可能ですよ！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\jsim{\mathrel{\unicode[sans-serif]{x223D}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. おおざっぱな方針
2. ヒント1の続き
3. ヒント2の続き
4. ヒント1～3を具体的に

【補助線主体の図形問題 #014】
　今回は面積関係を問う問題にしてみました。補助線が活躍するのはいつも通り。暗算での処理も可能です。思い思いの解法をお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体方針
2. ヒント1の続き
3. その後の方針
4. ヒント3の続き

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。