解説
解答は，$\boldsymbol{\left(p,q\right)=\left(3,5\right)}$
求めるべき値は，$3^{2}+5^{2}=\boldsymbol{34}$
まず，$p=2$とすると，左辺は偶数となるから，適さない．
次に，$p=3$とする．
$q=2$のとき，左辺$=23$より，不適．
$q=3$のとき，左辺$=37$より，不適．
$q=5$のとき，左辺$=13$となり，適する．
$q\geqq7$のとき，$1024=2^{10}<2187=3^{7}$より
$2^{10}\cdot2^{q-7}<3^{7}\cdot3^{q-7}$すなわち$2^{q+3}-3^{q}<0$が成り立つから，不適．
以下，$p\geqq5$の場合を考える．
まず，$q=2$とする．このとき，フェルマーの小定理より，
$2^{p+2}-p^{2}=2^{p}\cdot4-p^{2}\equiv2\cdot4-0^{2}=8\pmod p$
である．このとき，$2^{p+2}-p^{2}=13$とすると，$13\equiv8\pmod p$であり，
これを満たす$p$は$5$のみだが，このとき
$2^{p+2}-p^{2}=103$
となり，適さない．
次に，$q\geqq3$とする．このとき，$p+q$は偶数だから，
$2^{p+q}=\left(3-1\right)^{p+q}\equiv\left(-1\right)^{p+q}=1\pmod 3$
である．
また，$p\geqq5$より，$p$は$3$の倍数でない．すなわち，$p$を$3$で割った余りは$1$または$2$である．
前者の場合，
$2^{p+q}-p^{q}\equiv1-1^{q}=1-1=0 \pmod3$となるが，$13\equiv1\pmod3$より，これは適さない．
次に後者の場合，$q$が奇数であることに注意すると，
$2^{p+q}-p^{q}\equiv1-2^{q}=1-(3-1)^{q}=1-(-1)^{q}=2\pmod3$となるが，$13\equiv1\pmod3$より，これは適さない．
以上より，$\boldsymbol{\left(p,q\right)=\left(3,5\right)}$が唯一の解である．
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