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[D] 分数だらけの黒板

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年7月5日21:00 正解数: 16 / 解答数: 33 (正答率: 48.5%) ギブアップ不可
整数 まそらた杯
この問題はコンテスト「第3回まそらた杯」の問題です。

解答

黒板に書かれている数は常に正の有理数となることに注意する。操作を行う際、選んで消した 2 つの数を x,y 、新たに書かれる数を z=x+y1+xy とすると

1z1+z=1x+y1+xy1+x+y1+xy=(1+xy)(x+y)(1+xy)+(x+y)=(1x)(1y)(1+x)(1+y)=1x1+x1y1+y

なので、黒板に書かれている有理数 ak について、積 P=k1ak1+ak は操作を何度行っても変化しない。特に、最初と最後で P が等しいので、最後に残った有理数を r とすると

nk=211k1+1k=1r1+r

が成り立つ。ここで左辺は

nk=211k1+1k=nk=2k1k+1=1324n2nn1n+1=2n(n+1)

であるから、2n(n+1)=1r1+rr について解いて

r=n2+n2n2+n+2

が分かる。分母と分子の最大公約数は 2,4 のいずれかであり、どちらも 899 とは互いに素なので、r を既約分数で表した時の分子が 899 で割り切れることは、n2+n2=(n+2)(n1)899 で割り切れることと同値である。899=29×31 なので、素因数 29,31(n+2),(n1) のどちらに割り振るかで場合分けする。

n129,31 で割り切れるとき
このような n の最小値は n=900=29×31+1 である。

n+229,31 で割り切れるとき
このような n の最小値は n=897=29×312 である。

n+229 で割り切れ、n131 で割り切れるとき
n+2=29l,n1=31m なる整数 l,m をとると、29l31m=3 である。29×1531×14=1 なので、 3 倍することで特殊解 l=45,m=42 が得られる。よって n=29×452=31×42+1=1303 が条件を満たす n のひとつで、一般解は整数 k を用いて n=1303+899k と表せる。n3 のとき、このような n の最小値は n=404 である。

n129 で割り切れ、n+231 で割り切れるとき
n1=29l,n+2=31m なる整数 l,m をとると、29l31m=3 である。29×1531×14=1 なので、 3 倍することで特殊解 l=45,m=42 が得られる。よって n=29×(45)+1=31×(42)2=1304 が条件を満たす n のひとつで、一般解は整数 k を用いて n=1304+899k と表せる。n3 のとき、このような n の最小値は n=494 である。

以上より求める n の最小値は n=404 である。

補足

tanh の加法定理は tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhxtanhy という形をしています。よって黒板に書かれた数 ak について、tanh1(ak)=12log(1+ak1ak) の和は操作を行なっても一定であることがわかります。これは積 P=k1ak1+ak が一定であることと同値です。
なお、数値実験をして、r がどのような n の式で書けるかを推測しても解けるかもしれません。


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大変申し訳ありません

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