黒板に書かれている数は常に正の有理数となることに注意する。操作を行う際、選んで消した 2 つの数を x,y 、新たに書かれる数を z=x+y1+xy とすると
1−z1+z=1−x+y1+xy1+x+y1+xy=(1+xy)−(x+y)(1+xy)+(x+y)=(1−x)(1−y)(1+x)(1+y)=1−x1+x⋅1−y1+y
なので、黒板に書かれている有理数 ak について、積 P=∏k1−ak1+ak は操作を何度行っても変化しない。特に、最初と最後で P が等しいので、最後に残った有理数を r とすると
n∏k=21−1k1+1k=1−r1+r
が成り立つ。ここで左辺は
n∏k=21−1k1+1k=n∏k=2k−1k+1=13⋅24⋯n−2n⋅n−1n+1=2n(n+1)
であるから、2n(n+1)=1−r1+r を r について解いて
r=n2+n−2n2+n+2
が分かる。分母と分子の最大公約数は 2,4 のいずれかであり、どちらも 899 とは互いに素なので、r を既約分数で表した時の分子が 899 で割り切れることは、n2+n−2=(n+2)(n−1) が 899 で割り切れることと同値である。899=29×31 なので、素因数 29,31 を (n+2),(n−1) のどちらに割り振るかで場合分けする。
・n−1 が 29,31 で割り切れるとき
このような n の最小値は n=900=29×31+1 である。
・n+2 が 29,31 で割り切れるとき
このような n の最小値は n=897=29×31−2 である。
・n+2 が 29 で割り切れ、n−1 が 31 で割り切れるとき
n+2=29l,n−1=31m なる整数 l,m をとると、29l−31m=3 である。29×15−31×14=1 なので、 3 倍することで特殊解 l=45,m=42 が得られる。よって n=29×45−2=31×42+1=1303 が条件を満たす n のひとつで、一般解は整数 k を用いて n=1303+899k と表せる。n≥3 のとき、このような n の最小値は n=404 である。
・n−1 が 29 で割り切れ、n+2 が 31 で割り切れるとき
n−1=29l,n+2=31m なる整数 l,m をとると、29l−31m=−3 である。29×15−31×14=1 なので、 −3 倍することで特殊解 l=−45,m=−42 が得られる。よって n=29×(−45)+1=31×(−42)−2=−1304 が条件を満たす n のひとつで、一般解は整数 k を用いて n=−1304+899k と表せる。n≥3 のとき、このような n の最小値は n=494 である。
以上より求める n の最小値は n=404 である。
tanh の加法定理は tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhxtanhy という形をしています。よって黒板に書かれた数 ak について、tanh−1(ak)=12log(1+ak1−ak) の和は操作を行なっても一定であることがわかります。これは積 P=∏k1−ak1+ak が一定であることと同値です。
なお、数値実験をして、r がどのような n の式で書けるかを推測しても解けるかもしれません。
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