2と5だけからなる2025の倍数

問題文

三角形 $ABC$ があり，以下が成り立っています：

$$AB = 7 ,　\angle A + 2\angle C = 60^{ \circ } .$$

いま，辺 $BC$ 上に $\angle CAP = 3\angle BAP$ をみたす点 $P$ をとり，さらに辺 $AC$ 上に $\angle APQ = 2\angle ACB$ をみたす点 $Q$ をとったところ，$BQ = 2$ が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{ a }{ b }$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$(1)$　$4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$　方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．

解答形式

$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

$AB=AC=3$ なる $\triangle ABC$ がある．辺 $BC$ の $C$ 側の延長上に，$AD=5$ なる点 $D$ をとる．$\triangle ABD$ の外接円において，$B$ を含まない弧 $AD$ 上に，$DE=4$ なる点 $E$ をとる．直線 $CE$ と $\triangle ABD$ の外接円との交点のうち，$E$ でないものを $F$ としたら，$EF=\dfrac{48}{\sqrt{91}}$ となった．このとき，
$$
BF=\dfrac{a}{b}
$$
である．ただし，$a,b$ は互いに素な自然数である．

$\boldsymbol{\underline{a^{2}+b^{2}}}$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。
極限値
$$
\lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}}
$$
を求めよ。

解答形式

電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください．(0.1234567...の場合0.12345と解答する)

備考

本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

問題文

四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします.
$$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記：
若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます.
一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.

問題文

$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.

問題文

半円の内部に正方形を2つ、図のように配置しました。赤い線分の長さ（＝2つの正方形の一辺の差）が3であるとき、青で示した部分の面積と緑で示された部分の面積の差を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

4×4の格子に，次の規則に従って，1マスに1つずつ，素数を入れる．

規則

・どの縦・横・斜めに並ぶ4つの数の和も，すべて等しくなるようにする．
・同じ数は2回以上使わない．

いま，図のように，一部のマスに数が記入されており，残りのマスに適切な数を入れることで，上の規則を満たすようにすべてのマスを埋めることができる．このとき，？のマスに当てはまる数を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．