末尾が2025の平方数

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題文

$x,y$を整数、$p$を素数とする。
$x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。

解答形式

$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします.
$$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記：
若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます.
一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.

問題文

$$x^2+2027x+a$$$$x^2+2026x+b$$
この２つの二次方程式に共通の解が１つある時、最小の自然数a、b、それぞれの値を求めない。

解答形式

1行目にaの値を、2行目にbの値を入力してください。いずれもa=、b=は必要ありません。

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

問題文

$AB=AC$ である直角二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円の劣弧 $AC$ 上に点 $D$ をとります．すると $$AB=\sqrt{666},CD=6$$ が成り立ちました．$BD$ に $A$ から下ろした垂線の足を$H$ とした時，$AH\times BH$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角の数字で答えて下さい．

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

${}$　西暦2026年問題第6弾です。問題文こそ集合の言葉を使っていますが、そちらは本質ではありません。整数問題としてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める最小値をそのまま半角で入力してください。
（例）最小値が106 → $\color{blue}{106}$

問題文

次を満たす整数係数多項式の組 $(f,g)$ はいくつありますか？
$$f(g(x))=x^6+1　0≦f(0),g(0)≦2025$$

解答形式

条件を満たす組の個数を半角整数で $1$ 行目に入力してください。

問題文

正整数$N$を$7,10,13,16,19$で割った余りがそれぞれ$2,3,4,5,6$であるとします。このとき$N$を$1729$で割った余りを求めてください。

問題文

次の計算をせよ．

$$
\sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad
$$

ただし，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする．

解答形式

解答は整数となります．そのまま半角で入力してください．