${}$ 西暦2025年問題第6弾です。一見本格的な整数問題ですが、あいかわらず仕掛けを施しています。独特な時味の当問をどうぞお楽しみください。
${}$ 解答は求める項の値をそのまま入力してください。 (例)第10項=106 → $\color{blue}{106}$
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四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします. $$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記: 若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます. 一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.
$$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(5^x-5^{-x})dx$$
$a$は$x$と独立であるとする。 $x$の方程式 $$(\cos^4x)^{\log_2(a\sin x)+1}=(a\sin2x)^{\log_2(a\sin2x)}$$ の$0\leqq x\leqq \frac\pi2$における解を$y$とする。 この時、以下の値を求めよ。 $$\int_0^1\frac1{\sin^2y}da$$
$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について,$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$,$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします.また,線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました.このとき,三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください.ただし,答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角整数値で解答してください.
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。 $$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$ ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
半角で
自然数$a,b,c,d$は $$ a\neq b $$ $$ (a+b)(a-b)+(ad-bc)=0 $$ $$ bc-a^2=1 $$ を満たしています.このとき $$ \frac{c-d}{a-b} $$ の取り得る値を全て求めてください.
半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください. Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき -3/89 1 100 と解答してください.
${}$ 西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。
${}$ 解答は指定の積をそのまま入力してください。 (例)105 → $\color{blue}{105}$
次の実数 $a,b,c$ に対し,つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ.
半角数字で入力してください.
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める. \begin{aligned} &a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\ &b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots) \end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ. (2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
次の計算をせよ.
$$ \sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad $$
ただし,$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする.
解答は整数となります.そのまま半角で入力してください.
$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。 極限値 $$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}} $$ を求めよ。
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください.(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
三角形$ABC$において,$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし,$DP$と$MN$の交点を$Q$,三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき,$$AN=10 AB=9 NR=3$$が成立した.このとき,$AC²$の値を解答してください.
半角で解答してください.