アクセスがしづらい状況について (2025年1月23日14:22)
現在、ポロロッカにアクセスがしづらい状況が発生しております。 サーバー強化など応急処置は完了しておりますが、本格的な調査は2月ごろとなる見込みです。 ご迷惑をおかけし、大変申し訳ございません。解の個数の数え上げ
解説
求める組$(a,b,c,d,e,f,g,h,i)$のそれぞれの値は$a=2^{a_1}\times 5^{a_2}, b = 2^{b_1} \times 5^{b_2}, \cdots , i = 2^{i_1}\times 5^{i_2} $と非負整数$a_1,a_2,...,i_1,i_2$を用いて表すことができる．ここで，問題は指数部分に着目することで，図のような$3\times 3$のマス目に非負整数を各行，各列の和が$N$で一定であるように書き込む方法の数$S_N$を求める問題に帰着し，$2025^2=3^8\times 5^4$より本問の答えは$S_8 \times S_4$となる．
$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a_k & b_k & c_k \\ \hline
d_k & e_k & f_k \\ \hline
g_k & h_k & i_k \\ \hline
\end{array}
$$
以下では一般に$N=n\quad (n\in \mathbb{N})$の場合について考える．また，図のような$(a_k,b_k,\cdots , i_k)$の書き込み方を行列
$$
\begin{pmatrix}
a_k & b_k & c_k \\ d_k & e_k & f_k \\ g_k & h_k & i_k
\end{pmatrix}
$$
で表現する．
まず，$N=1$について考える．このときの書き込み方は$3!=6$通りであり，それらを表す行列$E_1,E_2,\cdots,E_6$を以下のように対応させる．
$$
E_1 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
, E_2 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
$$
E_3 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
E_4 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
$$
E_5 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
, E_6 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
すると，$N=n$のときの任意の書き込み方$A$は非負整数の組$(x_1,x_2,\cdots,x_6)$によって
$$
A=\sum_{i=1}^{6}x_iE_i\\
\text{subject to }\sum_{i=1}^{6}x_i = n
$$
と表すことができるため，この非負整数の組$(x_1,x_2,\cdots,x_6)$の数を数え上げる方針をとる．$\sum_{i=1}^{6}x_i = n$を満たす組の数$t_n$は
$$t_n={}_{6}\mathrm{H}_{n}={}_{n+5}\mathrm{C}_5$$個存在する．
ここで注意すべきは$a$を任意の整数として$(x_1,x_2,\cdots,x_6)=(a,a,a,-a,-a,-a)$であることと$$\sum_{i=1}^{6}x_iE_i=0$$は同値(☆)であるため，
$$
I = E_1+E_2+E_3 = E_4+E_5+E_6 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
であり単に非負整数の組を数え上げるだけではダブルカウントが発生する．（ただし$n\leq2$では高々$2$つの行列$E_i$を選ぶためダブルカウントは発生しない．以降は$n\geq 3$の場合について考えている．）
$x_i$が非負整数であることと(☆)より，書き込み方を表す行列$A$の成分の最小値が$0$であれば非負整数の組$(x_1,x_2,\cdots,x_6)$は一意に定まり，一方$(m \in \mathbb{N})$に対し$$mI=k\sum_{i=1}^3E_i +(m-k)\sum_{i=4}^6E_i \quad(k=0,1,\cdots,m)$$と，$mI$は$m+1$通りに表すことができる．
$N=n$における書き込み方を表す行列であって成分の最小値が$m$のものの集合を$M_{n,m}$とする．このとき，
$$M'_{n,m} = \{A - I \mid A \in M_{n,m}\}$$
とすると
$$M'_{n,m} = M_{n-3,m-1}$$
よって$$S_n=t_n-t_{n-3}={}_{n+5}\mathrm{C}_5-{}_{n+2}\mathrm{C}_5$$
以上より，
$$
S_n =
\begin{cases}
{}_{n+5}\mathrm{C}_5 - {}_{n+2}\mathrm{C}_5 & (n\geq 3) \\
{}_{n+5}\mathrm{C}_5 & (n\leq 2)
\end{cases}
$$
解答すべきは$S_8\times S_4 = 124200$である．
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