三角比の変形

問題文

(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.

(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.

解答形式

電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）

問題文

$AB=7$を満たす$\triangle ABC$について、線分$AB$上に$AC=BD$となるように点$D$をとる。直線$BC$を対称の軸として点$D$を対称移動した点を点Eとし、線分$BE,DE$を結ぶ。ここで、線分$DE$と線分$BC$は交点を持った。この点を点$M$とする。さらに、$\angle BAC$の二等分線と線分$BC$の交点を点$F$としたとき、$\angle AFB=135°$であった。$CM+DM=3$のとき、凹五角形$ABEMC$の面積を求めよ。

解答形式

単位を付けずに半角数字で解答してください。

問題文

△ABCについて、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとおく。∠C=120°であり、a,b,cが全て素数であるような組(a,b,c)を全て求めよ。

解答形式

(1,2,3)などのように、半角かっこの中に数字と半角コンマを入れ解答する。かっこ、半角コンマの前後にスペースを含まないこと。複数個ある場合は辞書順に並べて、（まずaの値が小さい順に並べ、aの値が同じな時はbの値が小さい順に並べ、aとbの値が同じな時はcの値が小さい順に並べること。）1行に1つ解答し、改行すること。

問題文

解答形式

半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。

問題文

以下によって定義される整数 $N$ を素数 $13907$ で割った余りを求めてください．$$N=\prod_{k=1}^{13906} (k^2+2025)$$

解答形式

13906以下の非負整数で解答してください

問題文

三角形 $ABC$ の内心と外心をそれぞれ $I, O$ としたところ，$AI=AO$ が成り立ちました．三角形 $ABC$ の内接円，外接円の半径がそれぞれ $142, 857$ であるとき，$\angle{A}$ 内の傍接円の半径を求めてください．

解答形式

例）答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。

このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。

解答形式

条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で，「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題

(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

問題文

$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。