整数問題

kikutaku 採点者ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2025年6月10日20:36 正解数: 3 / 解答数: 5 (正答率: 75%) ギブアップ不可

全 5 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年10月22日14:04 整数問題 tima_C
未採点
2025年7月6日12:16 整数問題 ona
正解
2025年6月25日20:40 整数問題 Salto
不正解
2025年6月13日21:08 整数問題 ゲスト
正解
2025年6月11日11:27 整数問題 smasher
正解

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整数

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
4月前

2

問題文

$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

自作場合の数・確率1-3

oolong_tea 自動ジャッジ 難易度:
10月前

4

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。

(4)は,自作場合の数・確率1-4につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート,全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。

復刻

Weskdohn 採点者ジャッジ 難易度:
9日前

7

問題文

整数 $n$ について, $n^5+n^4+32$ が素数でないことを示せ.

解答形式

簡単な証明をお書き下さい.

Floor, Ceil, Sqrt

yohaku7 自動ジャッジ 難易度:
4月前

17

問題文

以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。

$$
\left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x
$$

ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。

解答形式

答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。
末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。

例)答えが $-1,8,9,10$ のとき

-1
8
9
10

と解答してください。

abc (大数宿題2024-2)

Lim_Rim_ 自動ジャッジ 難易度:
6月前

10

問題文

$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.

解答形式

すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。

大小関係

skimer 採点者ジャッジ 難易度:
13月前

1

問題文

$$x≧5のとき\hspace{2mm}
(x-1)^{x+1}>x^{x}\hspace{2mm}が成り立つことを示せ。$$

$$ただし、e^{1.375}=3.9\hspace{3mm}e^{-1.375}=0.25とする。$$

解答形式

記述でお願いします


問題文

△ABC とその外接円 O があり、OA = 3、AB = 4 である。半直線 AO と線分 BC が交わるように点 C をとり、その交点を D とする。BD : DC = 2 : 1 となるときの OD の長さを全て求めなさい。ただし、点 C は弧 AB 上にないものとする。

解答形式

答えはある整数 $a, b, c$ を用いて$$\rm{OD} = \frac{b \pm \sqrt{c}}{a}$$と表せるので、一行目に $a$、二行目に $b$、三行目に $c$ を半角で入力してください。

数列の和の評価

Tarotaro 採点者ジャッジ 難易度:
12月前

1

$$数列a_{n}を次のように定義する。$$$$a_{1}=1,a_{2}=1,$$$$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_{n+1}}(n\in{\mathbb N} )$$$$また、a_{n}の和をS_{n}とおく。$$$$この時[S_{2025}]<4130を示せ。$$$$ただし[k]はk以下の最大の整数とする。$$

自作問題8

iwashi 自動ジャッジ 難易度:
29日前

1

問題文

次の文章の$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$に当てはまる数を求めよ。


$$
a_{n} = \int_{1}^{e^{0.1}}(\log{x})^{n}dx \qquad (n=0,1,2,\dotsc)
$$とする。部分積分法を用いることで,漸化式
$$
a_{n} = (\fbox{1})^{n}\cdot e^{\fbox{2}} - na_{n-1} \qquad (n\geq1)
$$を得る。$a_{3}$は,有理数$\fbox{3},\fbox{4}$を用いて
$$
a_{3} = \fbox{3}e^{\fbox{2}}+\fbox{4}
$$と表せる。$1\leq x\leq e^{0.1}$のとき$0\leq(\log{x})^{n}\leq0.1^{n}$より$0\leq a_{n}\leq(e^{0.1}-1)\cdot0.1^{n}$である。$n=3$に対してこの不等式を用いることにより$e^{-0.1}$を小数点第4位まで求めることができる。$e^{-0.1}$の小数点第5位以下を切り捨てた小数点第4位までの値は$\fbox{5}$である。

また,$\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}e^{-0.1}}{n!}a_{n}$とすることで$a_{n},b_{n}$の一般項は容易に求められる。
$$
0 \leq |b_{n}| = \frac{e^{-0.1}a_{n}}{n!} < \frac{1-e^{-0.1}}{10^{n}\cdot n!}
$$より,はさみうちの原理から$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|b_{n}| = 0$,つまり
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-0.1)^{n}}{n!} = e^{\fbox{6}}
$$が求められる。

解答形式

$\mathrm{i}=1,\dotsc,6$に対し,$\fbox{i}$に当てはまる数を$\mathrm{i}$行目に半角で答えてください。例えば,$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$にそれぞれ$1.2,3.45,-6,7.89,1.2356,-2.3$が当てはまるときは

1.2
3.45
-6
7.89
1.2356
-2.3

と解答してください。

角度

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2

問題文

凸四角形ABCDが∠ABD=12°、∠DBC=84°、∠ADB=18°、BD=BCを満たすとき、角ACDは何度ですか。

解答形式

半角数字で解答してください。

No.08 絶対値を含む命題

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問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か.$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆,裏,対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください.

関数方程式

noname 採点者ジャッジ 難易度:
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1

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

*解答だけで構いません。