三角形の辺の平方和

問題文

$n, k$ を正の整数とし，

$$
A_n = n! + k^2 + 2k + 2
$$

とする。$1 \le k \le 100$ の範囲で，次の (＊) を満たす $k$ を全て求めよ。

(＊)　$A_n$ が平方数となる $n$ が少なくとも$1$つ存在する。

解答形式

$k$の値を半角数字で、小さい順に$1$行目から各行左詰めで入力してください。
例)
1
3
5

問題文

複素数平面上のn個の点z,z^2,z^3,…z^n(z≠+-1)が全て同一円周上にあることの必要十分条件は、|z|=1であることを証明せよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

原点を中心とする単位円 $C_0$ と，直線 $l:x=a$ $(|a| \leq 1)$ に対して，$C_0$ が $l$ から切り取る線分を直径とする円 $C_1$ を考える（ただし，$C_0$ と $l$ が接する場合は，その接点を $C_1$ とする）。
　実数 $a$ を $-1$ から $1$ まで連続的に動かすとき，$C_1$ の通過する領域を求めよ。また，その領域の面積を求めよ。

註

「円」と「円板」とは厳密に区別すること（例えば，$x^2+y^2=1$ は前者，$x^2+y^2 \leq 1$ は後者である）。 本問の $C_0$ 及び $C_1$ は「円」であって「円板」ではない。

解答形式

求める面積は，$k$ を実数として $k\pi$ と表されます。この定数の平方である $k^2$ を入力してください。

問題文タイトル：三条件で定まる点と魂面積比（上級・II）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(10,0)$、点 $C(4,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>5$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle BPC = 120^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）

問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題タイトル：三条件で定まる点と魂比率（上級）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(8,0)$、点 $C(2,6)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>0$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 60^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$p$を正の実数の定数とする。定数でない多項式$f$が次を満たすとき、$f(1)$の値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ。

条件:任意の実数$q$に対し、$|q-r|≦p$をみたす実数$r$が存在し、$f(f(q))=f(r)$を満たす。

解答形式

$M+m$の値を$1$行目に半角で入力してください。不要な小数点などはつけないでください。(例:2.0、3.1400などは×)

問題文

正十二角形ABCDEFGHIJKL があります。
袋の中に A〜L までの文字が書かれた12枚のカードが入っています。この袋からカードを1枚引いては戻す作業を 5回 繰り返します。
引いたカードに記された頂点同士を、円周上の順番に従って結び、多角形を作ります。ただし、以下のルールに従うものとします。
同じ頂点を複数回引いた場合は、1つの頂点としてカウントする。
選ばれた頂点の種類が2種類以下の場合は、多角形ができないものとして面積を0とする。
結んだ線分が多角形の内部で交差しないよう、頂点を結ぶ。
このとき、形成された多角形の面積が、もとの正十二角形の面積のちょうど 1/3 になる確率を求めなさい。

解答形式

解答はx/yと表せられるのでx+yの値を答えなさい

問題文

nを4以上1000以下の整数とする。1000以下の正整数の組$(a_1,a_2,…,a_n)$であって、$$a_1=\frac{a_2+a_3+a_4}{3},a_2=\frac{a_3+a_4+a_5}{3},…,a_{n-1}=\frac{a_n+a_1+a_2}{3},a_n=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$$を満たすものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

３点A(-1,-2),B(2,1),C(𝑝+𝑞,𝑝-𝑞)
に対して実数𝑝,𝑞が
𝑝²+𝑞²+𝑝+𝑞≦3/2を満たすとする。
このとき３点A,B,Cを通る上に凸な二次関数が
存在しないような点Cの取りうる範囲の面積を求めよ。

解答形式

半角で答えのみ。分母に無理数が来る時は有理化し最も簡単な形で解答してください。
回答の際に一文字目に計算記号が来ないようにしてください。
(ダメな例)-2√2+π→(良い例)π-2√2
また掛け算の記号は省略し分数はa/bの形で表すこと。根号→√ 円周率→π ネイピア数→e

タイトル：三条件で定まる点と最短距離条件（大学レベル）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 45^\circ$
3. 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

同様に確からしいサイコロを$2$回振り、出た目を順に$a,b$とします。
$\sqrt{a-\sqrt{b}}$の二重根号が外せる確率を求めてください。

解答形式

二重根号を外せる確率は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$p+q$の値を半角数字で入力してください。

解答に誤りがありました。(修正済み)大変申し訳ございません。