数学の問題一覧

問題文

$x$ に関する $7$ 次方程式
$${x^7+x^6+x^5+x^4+3x^3+3x^2+3x+3=0}$$ の重複を含めた $7$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_7$ とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{7}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{8}\frac{S_{n+4}+S_{n+5}+S_{n+6}+S_{n+7}}{S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}}$$ ただし，${S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}$ が $n=1,2,...,8$ の範囲で $0$ にならないことが証明できます．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $6$ 次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$ の重複を含めた $6$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$1,2,...,102$ の並び替え $\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(102))$ について，多項式 $F_{\sigma}$ を
$${F_{\sigma}=x^{200}+x^{199}+\sum_{m=1}^{102}m\sigma(m)x^{m-1}}$$ で定めます．$x$ に関する $200$ 次方程式
$$F_{\sigma}=0$$ の重複を含めた $200$ 個の複素数解を $\alpha_{\sigma_1},\alpha_{\sigma_2},...,\alpha_{\sigma_{200}}$ とし，
$$\sum_{k=1}^{200}\alpha_{\sigma_k}^{100}$$ の値を $\sigma$ のスコアとします． このとき，$\sigma$ としてありうるもの $102!$ 通りすべてについてのスコアの平均値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$${x^{100}-20x^2+26x+2026=0}$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{100}\alpha_{k}^{98}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2028$ 次方程式
$$x^{2028}-x^{2026}-3x^{1000}+3x^{998}-5x^2+5=0$$ の重複を含めた $2028$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2028}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{2028}\alpha_k^{2026}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$

解答形式

整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．

問題文

正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．

• $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．

解答形式

半角で解答してください．

2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1　　EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.

解答形式

半角で入力してください。

正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.

問題文

素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．

このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．

$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．

• $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
• $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．

解答形式

半角左詰めでお願いします