数学の問題一覧

問題文

以下の条件を満たすような $15$ 個の白石と $15$ 個の黒石の並べ方は何通りありますか．

• 任意の白石について，その石の左側にある黒石の個数は $2$ の倍数である．
• 任意の黒石について，その石の左側にある白石の個数は $3$ の倍数である．

解答形式

非負整数で解答してください．

【補助線主体の図形問題 #004】
　今日の図形問題は正方形をたっぷりと並べてみました。座標幾何や複素数平面に落とし込みたい誘惑を断ち切って補助線解法を堪能していただけたら本望です。うまく引ければ余裕で暗算可能ですよ！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\jsim{\mathrel{\unicode[sans-serif]{x223D}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. おおざっぱな方針
2. ヒント1の続き
3. ヒント2の続き
4. ヒント1～3を具体的に

問題文

実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。

⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。

⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a\left(x-\frac{1}{a}\right)^2
$$

⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。

解答形式

⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$

の形である。ア～カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア～カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア＝２、イ＝７、ウ＝３、エ＝５、オ＝８、カ＝$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。

【補助線主体の図形問題 #092】
　今週の図形問題です。解く人によって難易度の感じ方が大きく変わりそうな問題となりました。暗算で処理するのは厳しいでしょう。紙＆ペンをお手元にご用意の上お楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、緑の線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で、青で示した線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $x=\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

≪aは定数とする。xの関数f(x)に対しf(a)とは、f(x)にx=aを代入した値である。例えば、f(x)=2xが与えられれば、f(2)の値は4となる≫

f(x)=3x−1についてf(a+1)をaを用いて表せ

問題文

$[\sqrt[11111]{2024!}]$を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。

解答形式

数字のみを記入してください。

問題文

十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2n\times 2n$のマス目に、以下の条件を満たすように正整数を書き込みます．

• 周上にないマスに$k$が書き込まれているとき、それと隣接するマスであって$k-1$以下の数が書き込まれているものが存在する．

このとき書き込まれた数の合計としてあり得る最小の値を$f(n)$とします．$f(111111)$を$5555$で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます．ピザには表と裏があり，表には具がのっていて，裏にはのっていません．はじめ，すべての皿のピザは表が上になっています．これらのピザに対して，次の操作Xを考えます．

操作X：

1. 隣り合う2枚の皿に着目し，左側の皿に乗っているピザをひっくり返し，右側の皿の一番上に重ねる．ピザが複数枚乗っている場合は，ピザを重ねたまままるごとひっくり返す．
2. 左側の皿を取り除き，皿どうしのすき間を詰める．

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと，1枚の皿にピザの塔ができます．操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします．ピザの塔を構成するピザを，上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし，$P_i$ が表を上に向けているとき「表」，裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると，ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます．

$N=6$とします．「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。

解答形式

$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。