≪aは定数とする。xの関数f(x)に対しf(a)とは、f(x)にx=aを代入した値である。例えば、f(x)=2xが与えられれば、f(2)の値は4となる≫
f(x)=3x−1についてf(a+1)をaを用いて表せ
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$m$ と $n$ を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 $f(x)$ が次の性質をもっているとき,$f(x)$ を $m,n$-生成の多項式と呼ぶことにします.
$x^k$ がすべての $10,n$-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 $k$ は
です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.
センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
-,a,b,c,d
1, 2, 3
123
$0$でない整数$x,y,z$について$A=xy−z,B=x-yz$と定める。$A+B=3,A-B=5$となるとき、$x,y,z$の値を求めよ
$y=2sinαcos(α+β)+sinβ$とする
(1)$α=30°,β=15°$のときの$y$の値は
$\frac{\sqrt{ア}+\sqrt{イ}}{ウ}$ (2)$α=20°,β=5°$のときの$y$の値は
$\frac{\sqrt{エ}}{オ}$
(1)が分からない場合はヒント1を見よ (2)が分からない場合はヒント2を見よ
自由。どの数字がどの文字に対応してるかさえ分かるようにしてあればOK。
$x,y$を自然数とする。$x^2+8y$と$y^2+8x$がともに平方数になるような$x,y$の組$(x,y)$をすべて求めよ。
例えば、$(x,y)=(1,2),(13,4),(51,16)$と答えたい場合は
12 134 5116
と入力してください。解の組は$x$の値が小さい順に並べてください。$x$の値が同じで$y$の値が異なる場合は$y$の値が小さい方を先に入力してください。
$x^4+y^4+z^4+w^4+(x^2+y^2+z^2+w^2)(xy+xz+xw+yz+yw+zw)+4xyzw$ を因数分解せよ。
TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。 例1: $(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)$と答えるには (x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。 例2: $x,y,z,w$から重複せず3文字を選び、かけ合わせた項4つを辞書式順に並べると $xyz,xyw,xzw,yzw$
$f(x)=x^3+7x+6$の値が63の倍数になるような2桁の自然数$x$をすべて求めよ。
解1つごとに改行して上から小さい順に半角数字で入力してください。$x=$は書かなくて良いです。
どの辺の長さも整数である$\triangle ABC$の面積を$S$とする。$S^2$の小数部分を求めよ。
とりうるすべての小数部分を小さい順に都度改行、列挙してください。 例: 「0,1/2,1/3,1/6,1/√5」の場合、
0 0.5 0.'3' 0.1'6' 1/\sqrt{5}
行列$A$を次で定義する。 $$ A= \begin{pmatrix} 6& -3 & -7 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 5& -3 & -6 & 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0& 0 & 0 & -1 & 4 & 1\\ 0& 0 & 0 & 2 & -4 & 0\\ \end{pmatrix} $$ このとき次の実線形空間の次元を求めよ。 $$ V=\{X\in M_{6}(\mathbb{R})\mid AX=XA\} $$ ただし、$M_{6}(\mathbb{R})$とは6行6列の実正方行列全体の集合である。
半角数字で答えよ。
漸化式 $$ a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots) $$および $$ a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0 $$を満たす数列 $\{a_n\}$ を考える。次の空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまる数字を答えなさい。
漸化式 $$ a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots) $$を満たす数列全体の集合を $V$ とする。数列 $a_n, b_n\in V$ および $c\in\mathbb{C}$ に対して,第 $n$ 項が $ca_n, a_n+b_n$ であるような数列をそれぞれ数列 $a_n$ の $c$ 倍,数列 $a_n, b_n$ の和と定義することにすると,この和とスカラー倍により $V$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間になる(確かめよ)。ここで,$V$ の元 $a_n$ は,$a_1, a_2, a_3$ を定めることで完全に決定できる。すなわち,写像 $\varphi: V \to \mathbb{C}^3$ を $$ \varphi(a_n)=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} $$で定めると,$\varphi$ は全単射である。しかも,$\varphi$ は線型写像だから,$\varphi$ はベクトル空間の同型になる。$V$ は $\fbox{ア}$ 次元である。また,$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}\in V$ を $$ \varphi(e_n^{(1)})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(2)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(3)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} $$となるように定めると,$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ は $V$ の基底になる。
$V$ 上の線型変換 $L: V\to V$ を次のように定義する。$a_n\in V$ に対して,$L(a_n)$ を第 $1, 2, 3$ 項がそれぞれ $a_2, a_3, a_4$ である数列とする($L$ が線型写像になることを確かめよ)。このとき,$L(a_n)$ の第 $n$ 項は $a_{n+\fbox{イ}}$ である。基底 $e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ のもとでの $L$ の表現行列 $L_A$ は $$ L_A=\begin{pmatrix} \fbox{ウ} & \fbox{エ} & * \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} & \fbox{キ} \\ \fbox{ク} & \fbox{ケコ} & \fbox{サ}\end{pmatrix} $$である。
$L_A$ の固有値を $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ とする($\lambda^{(1)}\in\mathbb{R}, {\rm Im}(\lambda^{(2)})>0, {\rm Im}(\lambda^{(3)})<0$)。このとき \begin{align} \lambda^{(1)}&=\fbox{シ}\\ {\rm Re}(\lambda^{(2)})={\rm Re}(\lambda^{(3)})&=\fbox{ス}\\ {\rm Im}(\lambda^{(2)})=-{\rm Im}(\lambda^{(3)})&=\fbox{セ} \end{align}である。
固有値 $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \alpha^{(3)}$ とする。固有ベクトルには定数倍の不定性があるが,$\alpha^{(j)}\;(j=1,2,3)$ の第 $1$ 成分が固有値 $\lambda^{(j)}$ に一致するようにとると \begin{align} \alpha^{(1)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(1)} \\ \fbox{ソ} \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(2)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(2)} \\ \fbox{タ}\;i \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(3)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(3)} \\ * \\ \fbox{チツ}-\fbox{テ}\;i \end{pmatrix} \end{align}である。
$\varphi(\beta_n^{(1)})=\alpha^{(1)}, \;\varphi(\beta_n^{(2)})=\alpha^{(2)}, \;\varphi(\beta_n^{(3)})=\alpha^{(3)}$ となる数列 $\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ をとる。$\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ は $V$ の基底をなすから,$V$ の任意の元 $a_n$ はこれらの線型結合で表すことができる。例えば,$a_n\in V$ が $$ a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0 $$を満たすとき $$ a_n=\fbox{ト}\;\beta_n^{(1)}-\frac{\beta_n^{(2)}-\beta_n^{(3)}}{\fbox{ナ}\; i} $$が成り立つ。これを変形すると $$ a_n=\fbox{ニ}-\left(\sqrt{\fbox{ヌ}}\;\right)^n\sin\left(\frac{n\pi}{\fbox{ネ}}\right) $$となる。また,$a_1,\cdots, a_{100}$ のうち $a_n$ が最大となるのは $n=\fbox{ノハ}, \fbox{ヒフ}$ のときである。ただし $\fbox{ノハ} < \fbox{ヒフ}$ とする。
※この問題では,数列とは写像 $a: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ のことをいう。$n\in\mathbb{N}$ に対して,$a(n)$ のことを単に $a_n$ と表記する。また,記号の濫用であるが $a$ を $\{a_n\}, a_n$とも書く。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。
0
9
-
関数 $f(x)=\sqrt[3]{-(x+4)(2x+3)(3x-8)}\ \left(\displaystyle -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{8}{3}\right)$ の最大値を求めよ。
半角数字またはTeXを入力してください。
図のように長方形や直角三角形の内接円が配置されています。青で示した角の角度を求めてください。
度数法で求め、半角数字で0以上360未満の整数を解答してください。 ※度や°などの単位は付けないでください。