無限ループ

lyala 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2022年8月23日20:47 正解数: 2 / 解答数: 2 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
確率

解説

A,B,C,無地のカードをA,B,C,Oで表し、A,B,Cそれぞれの所持カードをA(),B(),C()で表す。
ゲームの状況の遷移は、以下の樹形図のようになる。
         A(C)B(A)C(O,B)
           ⇙⇘
      A(B,C)B(A)C(O)  A(O,C)B(A)C(B)
       ⇙⇘
    Bの勝ち  A(B)B(A,C)C(O)
           ⇙⇘
       Cの勝ち  A(B)B(C)C(O,A)
              ⇙⇘
           Aの勝ち A(O,B)B(C)C(A)
                  ⇙⇘
              Bの勝ち  A(B)B(O,C)C(A)
                     ⇙⇘
                 Cの勝ち  A(B)B(C)C(O,A)
A(O,C)B(A)C(B)は初期の状況から、C⇒A,A⇒B,B⇒Cと置き換えた状況であるから、
この状況からA,B,Cが勝利する確率は、それぞれ$c$,$a$,$b$である。
状況A(B)B(C)C(O,A)からA,B,Cが勝利する確率をそれぞれ$x$,$y$,$z$とする。
この状況から1/2の確率でAが勝ち、1/4の確率でBが勝ち、1/8の確率でCが勝ち、1/8の確率で元に戻るから
$x=\frac{1}{8}x+1/2$
$y=\frac{1}{8}y+1/4$
$z=\frac{1}{8}z+1/8$
$ \therefore x=\frac{4}{7},y=\frac{2}{7} ,z=\frac{1}{7}$
よって、
$a=\frac{1}{2}c+\frac{1}{8}x$
$b=\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}y$
$a+b+c=1$
$ \therefore$
$a=\frac{1}{2}c+\frac{1}{14}$
$b=\frac{1}{2}a+\frac{2}{7}$
$a+b+c=1$
$ \therefore a=\frac{12}{49}b=\frac{20}{49}c=\frac{17}{49}$


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解答形式

半角英数字で分子を一行目に、分母を二行目に展開して完全に約分された形で回答してください。
(例)$\frac{p}{p^2-4}$と回答する場合
p
p^2-4
9/1追記解説を公開しました。


問題文

任意の集合$p$と$q$があるとし、$\bar{p},\bar{q}$はそれぞれ$p,q$の補集合であるとする

「$\bar{p}$が$q$であるための必要条件」であることは、
「$p$が$\bar{q}$であるための必要十分条件」であるための
1.必要十分条件である
2.必要条件であるが十分条件ではない
3.十分条件であるが必要条件ではない
4.必要条件でも十分条件でもない

解答形式

番号で入力してください。

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解答形式

半角数字で回答してください。

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$x$の4次方程式
$$
x^{4}-5x^{3}-2(n+7)x^{2}+5nx+n^{2}=0
$$が異なる4つの整数解をもつとき、整数$n$の値を求めよ。

解答形式

半角数学で解答してください。
また、$n$の値が2つ以上ある場合
改行して小さい順に並べてください。

(例) $n= -5 , -4$ のとき
-5
-4

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以下の問に関して, $2.71<e<2.72$ , $3.14<π<3.15$ とする.

(1) $a≠0$ のとき $a+1$ , $e^a$ の大小を比較せよ.

(2) $α>0$ かつ $β>0$ かつ $α≠β$ のとき,
$\hspace{11pt} $ $α-β$ , $β(logα-logβ)$ の大小を比較せよ.

(3) $e^π$ , $π^e$ の大小を比較せよ.

(4) $e^{e^e},e^{e^π},e^{π^e},e^{π^π},π^{e^e},π^{e^π},π^{π^e},π^{π^π} $ の大小を比較せよ.
$\hspace{11pt} $ここで, $a^{b^c}$は $a^{(b^c)} $を表す.

解答形式

(1) ① $a+1$ ② $e^a$
(2) ① $α-β$ $\:$② $β(logα-logβ)$
(3) ① $e^π$ ② $π^e$
(4) ①$e^{e^e}$②$e^{e^π}$③$e^{π^e}$④$e^{π^π}$⑤$π^{e^e}$⑥$π^{e^π}$⑦$π^{π^e}$⑧$π^{π^π} $
として問ごとに改行し,小さい順に左から半角数字を用いて並べよ.
(例)12345678

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(1)直線$l_1,l_2,l_3$は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2$を求めよ。

(3)線分長の2乗比$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2$を求めよ。

(4)直線$l_2$と$C$で囲まれる部分の面積$S$を$\alpha,\beta$で表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2=a:b$
$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2=c:d$
$S=\displaystyle\frac{e\sqrt{f}}{ghi}(\beta-\alpha)^j$

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${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
(例) $12^{\circ}$ → $\color{blue}{12.00}$  $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
 入力を一意に定めるための処置です。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。