A

問題文

$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において，$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$，最小公倍数を $l$ としたとき，以下が成立しました．

$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$

このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め，$a + b$ の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています．
$ $　そこで，以下のルールをすべて守った数列を，良い数列と呼ぶことにします:

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数から $3$ つを選んでいる数列である．
• その数列は公差が $0$ でない等差数列である．
• 数列のどこか $1$ 項に必ず $1$ を含んでいる．

$ $　この時，良い数列は全部でいくつありますか？

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

正整数 $N$ に対し, $f(N)$ を以下のように定めます.
・ $N$ の正の約数全てに対し, それが $2$ で割り切れる最大の回数の総和

例えば, $f(6) = 2, f(4) = 3$ となります. このとき, $f(M) = 40$ となる最小の正整数 $M$ を解答して下さい.

解答形式

正整数を解答して下さい.

問題文

$12$桁の整数$111111111111$の素因数の総和を求めてください.
但し,素因数の１つとして４桁の素数が含まれます.

解答形式

整数で答えてください.

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$10$ 面サイコロを $4$ つ持っており，それを $4$ つ全て同時に $1$ 回振ることを考えます．ここでの $10$ 面サイコロは，$1$ 以上 $10$ 以下の整数の目が同様に確からしい確率で $1$ つ出るサイコロとします．
$ $　また，サイコロの出目により，それぞれのサイコロに対して，成功数を以下のように定義します．

• 出目が $1$ のとき $2$
• 出目が $2$ 以上 $7$ 以下のとき $1$
• 出目が $8$ 以上 $9$ 以下のとき $0$
• 出目が $10$ のとき $-1$

$ $　この時，$4$ つのサイコロを振って，その成功数の合計が $0$ 以下になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．

【追記】
難しすぎるという意見をいただいたので難易度を2→3に変更しました。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$ $　$5$ 種類の大きさ $1,2,3,4,5$ の服がそれぞれ $3$ 枚ずつあり，合計 $15$ 枚にはすべてに相異なる色が着色されています．$A$ さん，$B$ さん，$C$ さんの $3$ 人は，これら $15$ 枚の服からそれぞれ $1$ 枚ずつ異なる服を選んで着ます．ここで，$3$ 人が着ることのできる服の大きさは以下の通りです．

• $A$ さんは，大きさ $1,2,3,4,5$ 全てを着ることができる．
• $B$ さんは，大きさ $1,2,3$ を着ることができる．
• $C$ さんは，大きさ $3,4,5$ を着ることができる．

$ $　このとき，$3$ 人の服の選び方はいくつありますか？
$ $　ただし，$3$ 人全体で見て同じ服を選んでいても着ている人が異なる場合違う選び方として区別します．

追記:6/26
解説の誤字を修正しました。ご指摘ありがとうございます。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.

問題文

正の整数 $n$ に対し，$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ と表します．
$f(f(n))=5$ となる最小の正の整数 $n$ を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

連続する8つの正整数の三乗の和で表せる数のうち、2000に最も近いものを求めよ。

解答形式

半角で入力してください。

問題文

図のような2つの直角三角形があります。青い角度の和が45°のとき、ア：イを求めなさい。

解答形式（注意！！）

ア÷イの値を半角で入力してください。
例）ア：イ=7:2
　　→3.5

桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、
$S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$
である。
さて、
$n+S(n)=5233$
を満たすような$n$を全て求めよ。

解答形式

$n$の値を整数でお答えください。