OMC没問1

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3
$$

解答形式

答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。

問題

$0,a,b,c$ は相異なる実数で，$a^3b+b^3c+c^3a=ab^3+bc^3+ca^3$ を満たすとき，次の値を求めよ．$$\min_{a,b,c}\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4+50)}{a^5+b^5+c^5}$$

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

解答形式

整数で回答してください.

直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.

問題文

正整数 $n$ に対して, $n^i \equiv 1 \ (\textrm{mod} \ 25 )$ を満たす最小の正整数 $i$ を $f(n)$ とします. (ただし, このような $i$ が存在しない場合は, $f(n) = 0$ とします.) このとき, $1 \leq n \leq 10000$ の範囲で $f(n)$ が最大値をとるような $n$ の総積を $1000$ で割った余りを解答して下さい.

解答形式

非負整数値を解答して下さい.

問題文

$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き，「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ，$2$ つの駒が同じマスに止まりました．
このとき，最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。

※平行四辺形の一辺と半円は接する。

解答形式

$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=AC=3$ なる $\triangle ABC$ がある．辺 $BC$ の $C$ 側の延長上に，$AD=5$ なる点 $D$ をとる．$\triangle ABD$ の外接円において，$B$ を含まない弧 $AD$ 上に，$DE=4$ なる点 $E$ をとる．直線 $CE$ と $\triangle ABD$ の外接円との交点のうち，$E$ でないものを $F$ としたら，$EF=\dfrac{48}{\sqrt{91}}$ となった．このとき，
$$
BF=\dfrac{a}{b}
$$
である．ただし，$a,b$ は互いに素な自然数である．

$\boldsymbol{\underline{a^{2}+b^{2}}}$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，以下が成り立っています：

$$AB = 7 ,　\angle A + 2\angle C = 60^{ \circ } .$$

いま，辺 $BC$ 上に $\angle CAP = 3\angle BAP$ をみたす点 $P$ をとり，さらに辺 $AC$ 上に $\angle APQ = 2\angle ACB$ をみたす点 $Q$ をとったところ，$BQ = 2$ が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{ a }{ b }$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

正整数 $m$ に対して, $m$ の正の約数全ての相加平均を $f(m)$ とします.このとき以下を満たす $m$ の総和を求めてください.
$$f(m)=\frac{m}{2}$$