整数問題1

問題文

任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

解答形式

整数で回答してください.

問題文

$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において，$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$，最小公倍数を $l$ としたとき，以下が成立しました．

$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$

このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め，$a + b$ の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.

問題文

$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます．

• 黒色に塗られた任意の $2$ つのマスは辺を共有しない(頂点は共有しても良い)．

このとき，黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか．

解答形式

正整数で答えて下さい．

以下の極限値を求めよ。

$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr)
$$

問題

自然数a b c について
abc-ab-a=17
a<b<c
となる自然数のa b c の組の数を答えなさい

解答形式

半角数字で答えてください

桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、
$S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$
である。
さて、
$n+S(n)=5233$
を満たすような$n$を全て求めよ。

解答形式

$n$の値を整数でお答えください。

問題文

関数 $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ が $f(f(x) + y) = x + f(y)$ を (任意の整数の組 $(x, y)$ に対して) 満たすとき, $f(2024)$ の取りうる値の総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。

問題文

正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)

解答形式

半角数字で解答して下さい.

問題文

素数の組 $(p,q,r)$ であって，以下の等式
$$pq-64=r^4$$
を満たすものすべてについて，$p+q+r$ の総和を求めてください．

解答形式

半角整数値で解答してください．