F-ガンマ1/4

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月28日18:00 正解数: 6 / 解答数: 11 (正答率: 54.5%)
KOH-MC
この問題はコンテスト「KOH Mathematical Contest #1」の問題です。

問題文

$n=0, 1,\cdots$ に対して

\begin{equation}
I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx
\end{equation}

と定める。この広義積分は収束することが知られている。

任意の $n=0,1,\cdots$ に対して
\begin{equation}
I_{n+\fbox{ア}}=\frac{n+\fbox{イ}}{n+\fbox{ウ}}I_n
\end{equation}が成り立つ(ただし $\fbox{ア}$ は $0$ でない)。これを利用すると

\begin{equation}
\prod_{n=1}^{\infty} \left[1-\frac{4}{(4n-1)^2}\right]=\frac{\fbox{エ}\;\pi^{\fbox{オ}}}{\alpha^{\fbox{カ}}}
\end{equation}が導かれる。ここで $\alpha$ は

\begin{equation}
\alpha=\int_0^{\infty} t^{-3/4}e^{-t}dt=\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)
\end{equation}で定義される定数である(この広義積分は収束することが知られている)。

注意事項

以下の事実は証明なしに用いてよい。

  • 実数 $x>0$ に対して,広義積分
    \begin{equation}
    \Gamma(x) := \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt
    \end{equation}は収束する。
  • 実数 $x>0$ に対して
    \begin{equation}
    \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
    \end{equation}が成り立つ。
  • 実数 $x, y>0$ に対して
    \begin{equation}
    \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt
    \end{equation}が成り立つ。ただし,右辺の広義積分は収束することが知られている。
  • 実数 $0<x<1$ に対して
    \begin{equation}
    \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}
    \end{equation}が成り立つ(相反公式)。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。


ヒント1

漸化式の導出には部分積分を利用します。


解答提出

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