D-はやく接線になりたい！

問題文

$n=0, 1,\cdots$ に対して

\begin{equation}
I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx
\end{equation}

と定める。この広義積分は収束することが知られている。

任意の $n=0,1,\cdots$ に対して
\begin{equation}
I_{n+\fbox{ア}}=\frac{n+\fbox{イ}}{n+\fbox{ウ}}I_n
\end{equation}が成り立つ（ただし $\fbox{ア}$ は $0$ でない）。これを利用すると

\begin{equation}
\prod_{n=1}^{\infty} \left[1-\frac{4}{(4n-1)^2}\right]=\frac{\fbox{エ}\;\pi^{\fbox{オ}}}{\alpha^{\fbox{カ}}}
\end{equation}が導かれる。ここで $\alpha$ は

\begin{equation}
\alpha=\int_0^{\infty} t^{-3/4}e^{-t}dt=\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)
\end{equation}で定義される定数である（この広義積分は収束することが知られている）。

注意事項

以下の事実は証明なしに用いてよい。

• 実数 $x>0$ に対して，広義積分
  \begin{equation}
  \Gamma(x) := \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt
  \end{equation}は収束する。
• 実数 $x>0$ に対して
  \begin{equation}
  \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
  \end{equation}が成り立つ。
• 実数 $x, y>0$ に対して
  \begin{equation}
  \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt
  \end{equation}が成り立つ。ただし，右辺の広義積分は収束することが知られている。
• 実数 $0<x<1$ に対して
  \begin{equation}
  \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}
  \end{equation}が成り立つ（相反公式）。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に当てはまるものを，改行区切りで入力してください。

問題文

$x$ についての2次方程式
$$
3x^2+(5k-4)x+4k = 0
$$が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。

解答形式

解答は
$$
\frac{N-\sqrt{M}}{L}
$$と表わされる（$N,M,L$ は自然数）。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。

問題文

$x=0$ で微分可能な実数値連続関数 $f(x),g(x)$ は任意の実数 $x,y$ に対して以下の式を満たすとする。以下の空欄を埋めよ。

$$
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\\g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)
$$

$f'(0)=2,g'(0)=1$ であるとする。今 $f(0)=\fbox{ア},g(0)=\fbox{イ}$ であるので

$$
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\fbox{ウ}f(x)+\fbox{エ}g(x)\\\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\fbox{オ}f(x)+\fbox{カ}g(x)
$$

となる。 $h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2$ とおくと

$$
h'(x)=\fbox{キ}h(x)
$$

これより

$$
\dfrac{d}{dx}(h(x)e^{-\fbox{キ}x})=\fbox{ク}
$$

がわかるので、

$$
h(x)=\fbox{ケ}e^{\fbox{コ}x}
$$

を得る。

解答形式

半角数字で改行区切りで記述せよ。たとえば $\fbox{ア}$ に $100$ , $\fbox{イ}$ に $-99$ と答えたい場合には１行目に $100$ , ２行目に $-99$ を記述せよ。

問題文

$n$ を非負整数とする。縦の長さが $3$，横の長さが $2n$ の長方形をした部屋を，辺の長さが $1$ と $2$ の長方形の畳で敷き詰める方法の総数を $a_n$ とする。ただし，部屋を固定したとき，畳を回転または反転させて一致するような敷き詰め方は区別して数える。また，便宜上 $a_0=1$ と約束する。

例えば，縦の長さが $3$，横の長さが $2$ である部屋を畳で敷き詰める方法は
の $3$ 通りだから $a_1=3$ である。このとき
$$
a_n=\fbox{ア}\;a_{n-1}+\fbox{イ}\;\sum_{k=0}^{n-2}a_k\quad (n=2,3,\cdots)
$$が成り立つから
$$
a_4=\fbox{ウエオ}
$$である。また，上の漸化式を変形すると
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}}
$$が成り立つことが分かる。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ に当てはまるものを，改行区切りで入力してください。

問題文

△ABCと点Pをとり、△ABP, △BCP, △CAPの重心をそれぞれ$G_1, G_2, G_3$とします。青で示した3つの三角形の面積の和が10のとき、$△G_1G_2G_3$（赤い三角形）の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$n=0,1,\cdots$ に対し，$I_n$を
$$
I_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-1)!!}
$$で定める。ただし $(-1)!!=1$ とする。この級数は収束することが知られている（例えば，ダランベールの判定法を適用すればよい）。特に
$$
I_0+I_1=\fbox{ア}
$$である。また，$\{I_n\}$ は漸化式
$$
I_{n-1}-I_{n+1}=(\,\fbox{イ}\,n-\fbox{ウ}\,)I_n\quad(n=1,2,\cdots)
$$を満たし
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=\fbox{エ}
$$が成り立つ。これらの結果を用い，漸化式を変形すると
$$
1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\ddots}}}}=\frac{\fbox{オ}^{\fbox{カ}}+\fbox{キ}}{\fbox{ク}^{\fbox{ケ}}-\fbox{コ}}
$$が得られる。ただし $\fbox{オ}\neq\fbox{キ}$ とする。

注意

自然数 $n\geq 1$ に対し，$n!!$ は $1$ 個とばしの階乗を表す。例えば，$n$ が奇数のとき
$$
n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1
$$である。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ には，半角数字 0 - 9 ，記号 - ，円周率 π ，自然対数の底 e のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。

問題文

$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき，以下の試行を行うことを考える。

試行

• $n$ 人が $0,1,2$ のいずれかひとつの数を無作為に選ぶ。
• 人 $i\; (i=1,2,\cdots, n)$ が選んだ数を $a_i$ とする。各人 $i$ に対して，
  $$
  a_i\equiv\sum_{j=1}^n a_j\; ({\rm mod} \; 3)
  $$ならば人 $i$ は生存し，そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い，全員が生存するか全員が脱落するとき，modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき

$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$

である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$

であり，そうでないときには

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$

である。また，

$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$

が成り立つ。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には，半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

問題文

実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。

⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。

⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a(x-\frac{1}{a})^2
$$

⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。

解答形式

⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$

の形である。ア～カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア～カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア＝２、イ＝７、ウ＝３、エ＝５、オ＝８、カ＝$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。

問題文

以下のような数列 $\{a_n\}$ を考える。
$$
a_n=1+\sum_{m=1}^{2^n}{\rm floor}\left[\sqrt[n]{\frac{n}{\displaystyle{\sum_{k=1}^m}\; {\rm floor}\left(\cos^2\cfrac{(k-1)!+1}{k}\pi\right)}}\right]
$$なお、${\rm floor}(x)$ は $x$ 以下の最大の整数を返す関数とする。このとき、$a_{20}$ を求めよ。

ただし、必要であれば以下の定理および不等式を用いても良い。

1. $n$ が素数のとき
   $$\quad(n-1)!\equiv-1 \pmod n$$
2. $n\geq 1$ のとき
   $$1\leq\sqrt[n]{n}<2$$

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

$k>0$ を整数の定数とする。以下の条件

$$
{\rm AB}=8, {\rm AC}=k, \angle {\rm ABC}=60^{\circ}
$$

を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{\text{ア}}$ である。

また，条件を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が一意的に存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{イ}$ である。

ただし，互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

問題文

緑色の線分の長さは１です。
このとき、円の面積を求めてください。
図中の赤点はそれを含む線分の中点です。

解答形式

答えは(分数)×πの形になります。
分子を１行目に、分母を２行目に半角数字で入力してください。
ただし、既約分数の形で解答してください。
例: (10/3)π　→　１行目に10、２行目に3