E-加法定理

問題文

$n=0, 1,\cdots$ に対して

\begin{equation}
I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx
\end{equation}

と定める。この広義積分は収束することが知られている。

任意の $n=0,1,\cdots$ に対して
\begin{equation}
I_{n+\fbox{ア}}=\frac{n+\fbox{イ}}{n+\fbox{ウ}}I_n
\end{equation}が成り立つ（ただし $\fbox{ア}$ は $0$ でない）。これを利用すると

\begin{equation}
\prod_{n=1}^{\infty} \left[1-\frac{4}{(4n-1)^2}\right]=\frac{\fbox{エ}\;\pi^{\fbox{オ}}}{\alpha^{\fbox{カ}}}
\end{equation}が導かれる。ここで $\alpha$ は

\begin{equation}
\alpha=\int_0^{\infty} t^{-3/4}e^{-t}dt=\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)
\end{equation}で定義される定数である（この広義積分は収束することが知られている）。

注意事項

以下の事実は証明なしに用いてよい。

• 実数 $x>0$ に対して，広義積分
  \begin{equation}
  \Gamma(x) := \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt
  \end{equation}は収束する。
• 実数 $x>0$ に対して
  \begin{equation}
  \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
  \end{equation}が成り立つ。
• 実数 $x, y>0$ に対して
  \begin{equation}
  \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt
  \end{equation}が成り立つ。ただし，右辺の広義積分は収束することが知られている。
• 実数 $0<x<1$ に対して
  \begin{equation}
  \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}
  \end{equation}が成り立つ（相反公式）。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に当てはまるものを，改行区切りで入力してください。

問題文

$n$ を非負整数とする。縦の長さが $3$，横の長さが $2n$ の長方形をした部屋を，辺の長さが $1$ と $2$ の長方形の畳で敷き詰める方法の総数を $a_n$ とする。ただし，部屋を固定したとき，畳を回転または反転させて一致するような敷き詰め方は区別して数える。また，便宜上 $a_0=1$ と約束する。

例えば，縦の長さが $3$，横の長さが $2$ である部屋を畳で敷き詰める方法は
の $3$ 通りだから $a_1=3$ である。このとき
$$
a_n=\fbox{ア}\;a_{n-1}+\fbox{イ}\;\sum_{k=0}^{n-2}a_k\quad (n=2,3,\cdots)
$$が成り立つから
$$
a_4=\fbox{ウエオ}
$$である。また，上の漸化式を変形すると
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}}
$$が成り立つことが分かる。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ に当てはまるものを，改行区切りで入力してください。

問題文

$xy$ 平面上に原点を中心とする単位円 $C$ が存在する。$C$ 上の点 ${\rm A,B}$ は第一象限に存在し，それぞれ $x$ 座標が $\cfrac{1}{4}, \cfrac{3}{4}$ である。また、楕円$D$が存在し、その式は
$$
\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q} = 1~~~~(p>q>0)
$$
と表される。

ある直線が円 $C$ 上の弧 ${\rm AB}$ のうち短い方（両端を含む）と接していて，なおかつ楕円 $D$ とも接している。この2つの接点の距離が $1$ であるとき、$p$ の最大値を求めよ。
(追記:2020年6月29日1:25 問題の不備を修正いたしました。解答は変わりません。)

解答形式

解答は，自然数 $a,b$ を用いて
$$
a+\sqrt{b}
$$という形で表される（平方根は最も簡単な形にしてある）。解答欄には，一行目に $a$、2行目に $b$ の値を半角数字で入力せよ。

問題文

直径10の半円中に、直径の和が10となる2つの半円を図のように配置します。点Aを大半円の弧上にとり、線分AB,ACと小半円の交点をD,Eとします。
$BD^2+DE^2+EC^2$が最小となるようにしたとき、その最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$x$ についての2次方程式
$$
3x^2+(5k-4)x+4k = 0
$$が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。

解答形式

解答は
$$
\frac{N-\sqrt{M}}{L}
$$と表わされる（$N,M,L$ は自然数）。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。

問題文

関数 $f(x)$ を $f(x)=4x(1-x)$ で定義し、数列 $ \{ x_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
x_1=\sin^2{1}=0.708073418...,\ \ x_{n+1} = f(x_n) \ \ (n=1,2,...)
$$

で定める。このとき、 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log|f'(x_k)|$ を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 $\log$ は自然対数を表すものとする。また、$\pi$ が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: $2\pi = 6.2831...$と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: $-\pi = -3.1415...$と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
$\log2 = 0.6931..., \log3=1.0986... ,\log7 =1.9459...$

問題文

$$\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{3} \frac{dx}{x^4-1}
=-\frac{1}{\fboxア}\log\fboxイ-\frac{\pi}{\fboxウ}$$

解答形式

$\fboxア\fboxイ\fboxウ$に入る数字をそれぞれ1,2,3行目に半角で入力してください。($\log$の中身は最も簡単な形にしてください)

問題文

実数 $A,B,C \ (-\pi/2<A<B<C<\pi/2)$ が

$$
\frac{1+\tan^3{A}}{1+3\tan^2A}=\frac{1+\tan^3{B}}{1+3\tan^2B}=\frac{1+\tan^3{C}}{1+3\tan^2C}\\
$$

をみたして動くとき、$\tan{(A+B+C)}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

解は $ m<\tan{(A+B+C)}< M$ の形で、$m,M$ はどちらも整数である。
$m,M$の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。
例えば $m=-33, M=4$ と解答する場合、1行目に「-33」、2行目に「4」と入力せよ。

(20/06/21: よりシンプルな問題文に直しました。答えはそのままです。)

問題文

$k$を$0$以上の実数, $e$を自然対数の底とする。数列$a_n$を
$$a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+k}}$$
と定める。任意の自然数$n$に対して, $a_{n+1} < a_n$が成り立つような最小の$k$を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

問題文

$xy$平面において点$O$を中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれ$P_0,Q$とする(ただし$P_0,O,Q$は一直線上にないものとする)。また、$\angle P_0OQ$のうち小さい方の角を$\theta$とする$(0<\theta<\pi)$。
これから、以下の操作を$i=1,2,3,…,n$について計$n$回行う。

(操作)
弧$P_{i-1}Q$のうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点を$P_i$とし、$\triangle P_{i-1}P_iQ$の面積を$S_i$とする。

このとき、
$$S_i=\sin\frac{\theta}{\fbox{ア}^i}-\frac{1}{2} \sin\frac{\theta}{\fbox{イ}^{i-1}}$$となるので、
$$\sum_{i=1}^n2^{i-1}S_i=\frac{1}{2}\left(\fbox{ウ}^n\sin\frac{\theta}{\fbox{エ}^n}-\sin\theta\right)$$となる。ここで$n\to\infty$とすると
右辺の極限値は、
$$\frac{1}{2}(\theta-\sin\theta)$$となり扇形$P_0OQ$から$\triangle P_0OQ$を取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。

解答形式

$\fbox{ア}$~$\fbox{エ}$に入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。

問題文

実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。

⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。

⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a\left(x-\frac{1}{a}\right)^2
$$

⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。

解答形式

⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$

の形である。ア～カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア～カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア＝２、イ＝７、ウ＝３、エ＝５、オ＝８、カ＝$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。

問題文

$\sqrt[10] {10}$ の小数第一位の値を求めよ。
ただし, $\log_{10}{2}=0.3010$ とする。

解答形式

答えを半角数字で入力してください。