経路の場合の数

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{10}}$
を有理化し、その分母を答えよ。

解答が間違っていたため修正いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

解答形式

既約分数にしてその分母を整数値でお答えください。

$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。

元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。

解答形式

余りを自然数でお答えください

問題文

円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある．ただし，弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない．$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする．劣弧 $AB$ 上（端点を除く）に点 $P$ をとり，$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $C$ とし，$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $D$ とする．$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$，$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．また，線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$，線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする．$AB=\sqrt{69}$，$AC=3$，$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき，線分 $XY$ の長さは，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています．このとき， $x+4y+9z$ の最小値を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$4\times9$ のマス目があり，$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします．最も左下の点 $A$ から出発して，「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し，経路の長さの総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに,
$$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\
BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください.
ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{8},\dfrac{8}{13},\dfrac{13}{21},\dfrac{21}{34},\dfrac{34}{55},\dfrac{55}{89}$ の中から( $2$ 個以上の)偶数個の異なる分数を選ぶ方法 $2^{8}-1$ 通りに対し，選んだ数の積を考えるとき，それらの総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき，$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます．この二つの数列のスコアを
$$
\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}
$$
で定めます．数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが，これらの組におけるスコアの（相加）平均を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて，$\dfrac{p}{q}$ と表されるため，$p+q$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし，空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を
$$S \cup T = U，S \cap T = \phi$$となるよう定めたところ，$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました．このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい．

たとえば，
$$S = \{1, 2, ..., 9\}，T = \{10, 11, 12\}$$であるなら，$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され，$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

問題文

以下によって定義される整数 $N$ を素数 $13907$ で割った余りを求めてください．$$N=\prod_{k=1}^{13906} (k^2+2025)$$

解答形式

13906以下の非負整数で解答してください

問題文

一辺の長さが１である正方形を $n$ 個、頂点が合うように辺同士でつなげてできる図形を $n$-オミノ とする。ただし、$n=1$ の場合は１つの正方形である。また、$n$-オミノが多角形をなすとき（$n$-オミノで囲まれた領域が存在しないとき）、これを $n$-オミノ多角形 とする。

$\rm{S_n}$が$n$-オミノ多角形であるとき、$\rm{S_n}$の辺の数が2024となるような $n$ の最小値を求めよ。

解答形式

答えは整数となるので、半角で入力してください。