自作場合の数・確率1-3

問題文

自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。

解答形式

証明する形式。

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(2)$ $P(n)$を$n$の式で表せ。

(3)(4)は，自作場合の数・確率1-3につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

$$
P(n)= \frac{A(Bn+C)(Dn+E)}{F(Gn^{2}+Hn+I)}
$$

$A$~$I$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで回答

文字式の分数解答で自動ジャッジするのが大変だったので穴埋め式です。
わざとわかりづらくしてるので、1が入るところとかあります。

この問題は(2)です。が(1)を解かなくてもできます。解くと作者が喜びます。

問題文

$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$

少し問題を変更いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

解答形式

$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

問題文

△ABC とその外接円 O があり、OA = 3、AB = 4 である。半直線 AO と線分 BC が交わるように点 C をとり、その交点を D とする。BD : DC = 2 : 1 となるときの OD の長さを全て求めなさい。ただし、点 C は弧 AB 上にないものとする。

解答形式

答えはある整数 $a, b, c$ を用いて$$\rm{OD} = \frac{b \pm \sqrt{c}}{a}$$と表せるので、一行目に $a$、二行目に $b$、三行目に $c$ を半角で入力してください。

a,bはともに正の数とする。

長さに上限がない定規が二つある。二つの定規はともに等間隔に目盛が刻んである。定規Aの目盛の間隔はaで、定規Bの目盛の間隔はbである。
定規Aと定規Bが目盛が二か所で重なることはないための、a,bに関する必要十分条件を求めよ。

$$数列a_{n}を次のように定義する。$$$$a_{1}=1,a_{2}=1,$$$$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_{n+1}}(n\in{\mathbb N} )$$$$また、a_{n}の和をS_{n}とおく。$$$$この時[S_{2025}]<4130を示せ。$$$$ただし[k]はk以下の最大の整数とする。$$

双六でnマス目に止まる確率を求めよ。
ただし、n≦10、さいころは1個とする。

解答形式

初投稿で難易度設定とか解答の作り方とかよく分かってないので間違っていたらすみません。
・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
・a分のbのc乗→(b/a)^c
・b/a+d/cのようなものは1項にまとめてください。
・場合分けがある場合は
n≦aのとき(解答)
b≦n≦cのとき(解答)
といったように改行して答えてください。

問題文

$2024!$の約数の和は$2025$の倍数であることを示せ。

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

＊解答だけで構いません。

問題文

次の文章の$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$に当てはまる数を求めよ。

$$
a_{n} = \int_{1}^{e^{0.1}}(\log{x})^{n}dx \qquad (n=0,1,2,\dotsc)
$$とする。部分積分法を用いることで，漸化式
$$
a_{n} = (\fbox{1})^{n}\cdot e^{\fbox{2}} - na_{n-1} \qquad (n\geq1)
$$を得る。$a_{3}$は，有理数$\fbox{3},\fbox{4}$を用いて
$$
a_{3} = \fbox{3}e^{\fbox{2}}+\fbox{4}
$$と表せる。$1\leq x\leq e^{0.1}$のとき$0\leq(\log{x})^{n}\leq0.1^{n}$より$0\leq a_{n}\leq(e^{0.1}-1)\cdot0.1^{n}$である。$n=3$に対してこの不等式を用いることにより$e^{-0.1}$を小数点第4位まで求めることができる。$e^{-0.1}$の小数点第5位以下を切り捨てた小数点第4位までの値は$\fbox{5}$である。

また，$\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}e^{-0.1}}{n!}a_{n}$とすることで$a_{n},b_{n}$の一般項は容易に求められる。
$$
0 \leq |b_{n}| = \frac{e^{-0.1}a_{n}}{n!} < \frac{1-e^{-0.1}}{10^{n}\cdot n!}
$$より，はさみうちの原理から$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|b_{n}| = 0$，つまり
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-0.1)^{n}}{n!} = e^{\fbox{6}}
$$が求められる。

解答形式

$\mathrm{i}=1,\dotsc,6$に対し，$\fbox{i}$に当てはまる数を$\mathrm{i}$行目に半角で答えてください。例えば，$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$にそれぞれ$1.2,3.45,-6,7.89,1.2356,-2.3$が当てはまるときは

1.2
3.45
-6
7.89
1.2356
-2.3

と解答してください。

問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．