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[D] Eigensequence

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 大学数学
2020年8月15日18:00 正解数: 3 / 解答数: 6 (正答率: 50%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「KOH Mathematical Contest #2」の問題です。

正答

3 1 0 1 0 0 1 2 - 4
3 1 1 1 1 2 - 2 2 1
2 1 2 4 9 4 9 5

解説

漸化式
an+3=3an+24an+1+2an(n=1,2,)を満たす数列全体の集合を V とするとき,VC 上のベクトル空間になることは次のようにして示されます。非自明なのは,V が和とスカラー倍について閉じていることだけですから,an,bnV および cC に対して can,an+bnV であることを示せば証明が完了します。an,bnV の元なので,n=1,2, に対して
an+3=3an+24an+1+2anbn+3=3bn+24bn+1+2bnが成り立ちます。第 1 式の c 倍と第 1+2 式をつくれば
can+3=3can+24can+1+2canan+3+bn+3=3(an+2+bn+2)4(an+1+bn+1)+2(an+bn)となり,これは can,an+bn がともに漸化式を満たすことを意味しています。よって can,an+bnV で,V は和とスカラー倍について閉じています。VC 上のベクトル空間になります。

次に,写像 φ:VC3
φ(an)=(a1a2a3)で定めるとき,φ がベクトル空間の同型写像であることを確認しましょう。まず,漸化式を使えば,任意の a1,a2,a3C に対して a1,a2,a3 を初めの 3 項にもつような V の元を構成することができます。よって φ は全射です。また,an,bnV に対して,an,bn の初めの 3 項が同じであれば an,bn は数列として一致するので φ は単射でもあります。さらに,an,bnV および cC に対して,canV の最初の 3 項は ca1,ca2,ca3an+bnV の最初の 3 項は a1+b1,a2+b2,a3+b3 ですから φ1 は線型写像です。以上の議論より,φ がベクトル空間の同型写像であることが示されました。C33 次元なので,それと同型な V3 次元のベクトル空間です。

同型写像によって基底は基底に移りますから,C3 の基底
(100),(010),(001)φ1 による像 e(1)n,e(2)n,e(3)nV の基底になります。

V 上の線型変換 L:VV を問題文のように定義すると,これは anV に対して L(an)=an+1 と定義したことと等価になります。すなわち,L は数列の項をひとつずらす写像です。L が線型写像であることは,L によって基底 e(1)n,e(2)n,e(3)n による表示が
(a1a2a3)(a2a3a4)=(a2a32a14a2+3a3)のように移ることから従います。また,上式より
(a1a2a3)(010001243)(a1a2a3)が成り立つので,L の表現行列 LA
LA=(010001243)となります。

LA の固有値を λ とすると,固有方程式(特性方程式)は
det(λ100λ1243λ)=0すなわち
λ33λ2+4λ2=0(λ1)(λ22λ+2)=0となりますから,固有値は
λ=1,1+i,1iです。これらを順に λ(1),λ(2),λ(3) とおくことにします。

固有値 λ(1),λ(2),λ(3) に対する L の固有ベクトル(これは V の元なので数列です)を β(1)n,β(2)n,β(3)n とすると,固有値・固有ベクトルの定義より
L(β(1)n)=β(1)nL(β(2)n)=(1+i)β(2)nL(β(3)n)=(1i)β(3)nが成り立ちます。L は数列の項をひとつずらす写像だったので,これは
β(1)n+1=β(1)nβ(2)n+1=(1+i)β(2)nβ(3)n+1=(1i)β(3)nを意味します。よって β(1)n,β(2)n,β(3)n はそれぞれ公比が 1,1+i,1i の等比数列です。特に,初項が
β(1)1=1,β(2)1=1+i,β(3)3=1iとなるように β(1)n,β(2)n,β(3)n を定めれば,その一般項は
β(1)n=1β(2)n=(1+i)nβ(3)n=(1i)nとなり,最初の 3 項は
α(1)=(111),α(2)=(1+i(1+i)2(1+i)3),α(3)=(1i(1i)2(1i)3)です。特に (1+i)2=2i,(1i)3=22i となります。

最後に,V の元のうちで
a1=1,a2=0,a3=0となるような数列 anV を求めます。そのために,anL の固有ベクトルからなる基底 β(1)n,β(2)n,β(3)n の線型結合で表すことを考えます。もとの基底 e(1)n,e(2)n,e(3)n と新しい基底 β(1)n,β(2)n,β(3)n の関係は
β(1)n=e(1)n+e(2)n+e(3)nβ(2)n=(1+i)e(1)n+2ie(2)n+(2+2i)e(3)nβ(3)n=(1i)e(1)n2ie(2)n+(22i)e(3)nとなるので,逆に解いて
e(1)n=2β(1)nβ(2)nβ(3)n2iが得られます。ane(1)n にほかならないので,その一般項は
an=2β(1)nβ(2)nβ(3)n2i=2(1+i)n(1i)n2i=2(2)neinπ/4einπ/42i=2(2)nsin(nπ4)と計算できます。

一般項の形から,ann の増加とともに,振動しながらその振幅を等比数列的に増大させていくことが分かります。sin(nπ/4) の値は
12,1,12,0,12,1,12,0,のように 8 項周期で循環します。1004(mod8) ですから,a100=2 で,a97,a98,a99<2 です。n=96 で再び a96=2 となり,
a95=2+247a94=2+247a93=2+246が成り立ちます。また,n92 のときは
an=22n/2sin(nπ4)2+2n/22+246となるので,a1,,a100 のうちで an が最大になるのは n=94,95 のときです。


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解答形式

半角数字で答えよ。

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    ainj=1aj(mod3)ならば人 i生存し,そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。

n 人がmodじゃんけんを 1 回行い,全員が生存するか全員が脱落するとき,modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。

n 人がmodじゃんけんを 1 回行ってあいこになる確率を pn とするとき

p2=,p3=,p4=カキ

である。n で割った余りが であるとき

pn=n+n

であり,そうでないときには

pn=n+n

である。また,

limnpn=

が成り立つ。

解答形式

空欄 には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。 に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

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ただし、必要であれば以下の定理および不等式を用いても良い。

  1. n が素数のとき
    \quad(n-1)!\equiv-1 \pmod n
  2. n\geq 1 のとき
    1\leq\sqrt[n]{n}<2

解答形式

半角数字で入力してください.

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例えば \sigma=(1 4 2)(5 6 7)(3)\in \mathfrak{S}_7 なら,\sigma は長さ 3, 3, 1 の巡回置換からなるから,\sigma の近道度 m(\sigma)

m(\sigma)=\frac{1}{3\cdot 3\cdot 1}=\frac{1}{9}

である。自然数 n に対して,{1,\cdots, n} の置換(これは n! 通りある)の近道度の平均を

f_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} m(\sigma)

とおく。

f_1=1, \; f_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, \; f_4=\frac{\fbox{ウエオ}}{\fbox{カキク}}

であり,

\sum_{n=0}^{\infty} f_n=\fbox{X}

である(級数が収束することは証明なしに認めてよい)。ただし f_0=1 と約束する。

\mathfrak{S}_nn 次対称群を表す(19:03追記)。

解答形式

\fbox{ア}\fbox{ク} には 0 - 9 の数字が当てはまります。\fbox{ X }にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。

  • 1行目 には \fbox{ア} に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 2行目 には \fbox{イ} に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 3行目 には \fbox{ウエオ} に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 4行目 には \fbox{カキク} に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 5行目 には \fbox{ X } に当てはまる数を入力します。答えを 10 進小数で表し,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください。例えば,9.876\cdots が答えになる場合は 9.9 と解答してください。

ヒント

  • f_0,\cdots, f_{n-1} を使って f_n を表すことができます。
  • f_n の母関数を f(t)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} f_nt^n とおくと,f(t) はとある微分方程式を満たします。

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ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
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P=\begin{pmatrix} a & b & h & g \\ c & d & f & e \\ e & f & d & c \\ g& h & b & a \end{pmatrix}

という形をしている。E'4\times 4 の単位行列とし,4\times 4 行列 J'

J'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

で定義する。

(1) 一般の 4\times 4 行列 X に対して,XJ'(\fbox{ア},\fbox{イ}) 成分と X(1,2) 成分は一致する。また,J'X(\fbox{ウ},\fbox{エ}) 成分と X(1,2) 成分は一致する。よって, 4\times 4 行列 P が点対称行列であることは,J'PJ'=P が成り立つことと同値である。

(2) E2\times 2 の単位行列とし,2\times 2 行列 J

J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

で定義する。4\times 4 点対称行列 P が,ある 2\times 2 行列 A,B,C,D を用いて

P=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

と表せたとする。(1) と同様の考察より,D=JAJ, B=JCJ である。4\times 4 行列 Q

Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E & -J \\ J & E \end{pmatrix}

で定めると,Q^{\rm T}Q=\fbox{オ} であり

Q^{\rm T}PQ=\begin{pmatrix} \fbox{カ}+\fbox{キク} & \fbox{ケ} \\ \fbox{コ} & \fbox{サシス}-\fbox{セソ} \end{pmatrix}

が成り立つ。

(3) p を実定数とする。(2) の結果を利用して,行列

P=\begin{pmatrix} 0 & p & 0 & 1-p \\ 0 & p^2 & 1-p & p(1-p) \\ p(1-p) & 1-p & p^2 & 0 \\ 1-p & 0 & p & 0 \end{pmatrix}

の固有値を求めよう。p=\cfrac{13}{15} のとき,P の固有値は大きい順に

\fbox{タ}, \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}, \frac{\fbox{テ}}{\fbox{トナ}}, \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌネノ}}

である。

解答形式

空欄 \fbox{ア}\fbox{ノ} には,半角数字 0 - 9 ,記号 - ,4×4行列 E', J' ,2×2行列 E, J, A, C, O のいずれかが当てはまります(B, Dを使って解答することはできません。O は零行列を表します)。\fbox{ア}\fbox{ノ} に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

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I_0+I_1=\fbox{ア} である。また,\{I_n\} は漸化式
I_{n-1}-I_{n+1}=(\,\fbox{イ}\,n-\fbox{ウ}\,)I_n\quad(n=1,2,\cdots) を満たし
\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=\fbox{エ} が成り立つ。これらの結果を用い,漸化式を変形すると
1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\ddots}}}}=\frac{\fbox{オ}^{\fbox{カ}}+\fbox{キ}}{\fbox{ク}^{\fbox{ケ}}-\fbox{コ}} が得られる。ただし \fbox{オ}\neq\fbox{キ} とする。

注意

自然数 n\geq 1 に対し,n!!1 個とばしの階乗を表す。例えば,n が奇数のとき
n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1 である。

解答形式

空欄 \fbox{ア}\fbox{コ} には,半角数字 0 - 9 ,記号 - ,円周率 π ,自然対数の底 e のいずれかが当てはまります。\fbox{ア}\fbox{コ} に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

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  • 性質:すべての実数係数多項式 g(x)に対して,f(x)g(x)=h(x^m, x^n) となるような実数係数の2変数多項式 h(x,y) が存在する.

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です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.

解答形式

センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.

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S=\sum_{n=0}^\infty f\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right) を求めよ.答えは,整数ア・イを用いて
S=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\pi と既約分数の形でかける.

解答形式

アとイをそれぞれ1行目、2行目に半角数字で入力せよ.

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(1)pを奇素数とし、\frac{1}{p}を2進数で表示したときの循環節(※)が2以上8以下であるようなpは6つ存在する。フェルマーの小定理を用いてpとそのpに対する\frac{1}{p}の循環節の長さの関係を導き、6つのpの値を全て答えよ。

(2)pを奇素数とし、\frac{1}{p}を2進数で表示したときに最大で1が連続して並ぶ個数をf(p)とおく。例えば\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}よりf(3)=1である。(1)を満たすpの中でf(p)が最大となるのはpがいくらのときか。Midyの定理を用いることによって求め、その値を答えよ。


(※)循環節とは、循環小数の繰り返される数字の列のうちその長さが最小でありかつその先頭が最も先に来るようなもののことである。例えば\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}となり、このときの循環節は01であり、010110は循環節とならない。


解答形式

(1)の全ての答えを小さい順に1~6行目に半角数字で入力してください。また、(2)の答えを7行目に半角数字で入力してください。