Processing math: 100%

[D] Eigensequence

halphy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 大学数学
2020年8月15日18:00 正解数: 3 / 解答数: 6 (正答率: 50%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「KOH Mathematical Contest #2」の問題です。

正答

3 1 0 1 0 0 1 2 - 4
3 1 1 1 1 2 - 2 2 1
2 1 2 4 9 4 9 5

解説

漸化式
an+3=3an+24an+1+2an(n=1,2,)を満たす数列全体の集合を V とするとき,VC 上のベクトル空間になることは次のようにして示されます。非自明なのは,V が和とスカラー倍について閉じていることだけですから,an,bnV および cC に対して can,an+bnV であることを示せば証明が完了します。an,bnV の元なので,n=1,2, に対して
an+3=3an+24an+1+2anbn+3=3bn+24bn+1+2bnが成り立ちます。第 1 式の c 倍と第 1+2 式をつくれば
can+3=3can+24can+1+2canan+3+bn+3=3(an+2+bn+2)4(an+1+bn+1)+2(an+bn)となり,これは can,an+bn がともに漸化式を満たすことを意味しています。よって can,an+bnV で,V は和とスカラー倍について閉じています。VC 上のベクトル空間になります。

次に,写像 φ:VC3
φ(an)=(a1a2a3)で定めるとき,φ がベクトル空間の同型写像であることを確認しましょう。まず,漸化式を使えば,任意の a1,a2,a3C に対して a1,a2,a3 を初めの 3 項にもつような V の元を構成することができます。よって φ は全射です。また,an,bnV に対して,an,bn の初めの 3 項が同じであれば an,bn は数列として一致するので φ は単射でもあります。さらに,an,bnV および cC に対して,canV の最初の 3 項は ca1,ca2,ca3an+bnV の最初の 3 項は a1+b1,a2+b2,a3+b3 ですから φ1 は線型写像です。以上の議論より,φ がベクトル空間の同型写像であることが示されました。C33 次元なので,それと同型な V3 次元のベクトル空間です。

同型写像によって基底は基底に移りますから,C3 の基底
(100),(010),(001)φ1 による像 e(1)n,e(2)n,e(3)nV の基底になります。

V 上の線型変換 L:VV を問題文のように定義すると,これは anV に対して L(an)=an+1 と定義したことと等価になります。すなわち,L は数列の項をひとつずらす写像です。L が線型写像であることは,L によって基底 e(1)n,e(2)n,e(3)n による表示が
(a1a2a3)(a2a3a4)=(a2a32a14a2+3a3)のように移ることから従います。また,上式より
(a1a2a3)(010001243)(a1a2a3)が成り立つので,L の表現行列 LA
LA=(010001243)となります。

LA の固有値を λ とすると,固有方程式(特性方程式)は
det(λ100λ1243λ)=0すなわち
λ33λ2+4λ2=0(λ1)(λ22λ+2)=0となりますから,固有値は
λ=1,1+i,1iです。これらを順に λ(1),λ(2),λ(3) とおくことにします。

固有値 λ(1),λ(2),λ(3) に対する L の固有ベクトル(これは V の元なので数列です)を β(1)n,β(2)n,β(3)n とすると,固有値・固有ベクトルの定義より
L(β(1)n)=β(1)nL(β(2)n)=(1+i)β(2)nL(β(3)n)=(1i)β(3)nが成り立ちます。L は数列の項をひとつずらす写像だったので,これは
β(1)n+1=β(1)nβ(2)n+1=(1+i)β(2)nβ(3)n+1=(1i)β(3)nを意味します。よって β(1)n,β(2)n,β(3)n はそれぞれ公比が 1,1+i,1i の等比数列です。特に,初項が
β(1)1=1,β(2)1=1+i,β(3)3=1iとなるように β(1)n,β(2)n,β(3)n を定めれば,その一般項は
β(1)n=1β(2)n=(1+i)nβ(3)n=(1i)nとなり,最初の 3 項は
α(1)=(111),α(2)=(1+i(1+i)2(1+i)3),α(3)=(1i(1i)2(1i)3)です。特に (1+i)2=2i,(1i)3=22i となります。

最後に,V の元のうちで
a1=1,a2=0,a3=0となるような数列 anV を求めます。そのために,anL の固有ベクトルからなる基底 β(1)n,β(2)n,β(3)n の線型結合で表すことを考えます。もとの基底 e(1)n,e(2)n,e(3)n と新しい基底 β(1)n,β(2)n,β(3)n の関係は
β(1)n=e(1)n+e(2)n+e(3)nβ(2)n=(1+i)e(1)n+2ie(2)n+(2+2i)e(3)nβ(3)n=(1i)e(1)n2ie(2)n+(22i)e(3)nとなるので,逆に解いて
e(1)n=2β(1)nβ(2)nβ(3)n2iが得られます。ane(1)n にほかならないので,その一般項は
an=2β(1)nβ(2)nβ(3)n2i=2(1+i)n(1i)n2i=2(2)neinπ/4einπ/42i=2(2)nsin(nπ4)と計算できます。

一般項の形から,ann の増加とともに,振動しながらその振幅を等比数列的に増大させていくことが分かります。sin(nπ/4) の値は
12,1,12,0,12,1,12,0,のように 8 項周期で循環します。1004(mod8) ですから,a100=2 で,a97,a98,a99<2 です。n=96 で再び a96=2 となり,
a95=2+247a94=2+247a93=2+246が成り立ちます。また,n92 のときは
an=22n/2sin(nπ4)2+2n/22+246となるので,a1,,a100 のうちで an が最大になるのは n=94,95 のときです。


おすすめ問題

この問題を解いた人はこんな問題も解いています

[C]線形代数のよくある問題

fusshi 自動ジャッジ 難易度:
4年前

3

問題文

行列Aを次で定義する。
A=(637000121000536000000121000141000240)
このとき次の実線形空間の次元を求めよ。
V={XM6(R)AX=XA}
ただし、M6(R)とは6行6列の実正方行列全体の集合である。

解答形式

半角数字で答えよ。

[E] modじゃんけん

hinu 自動ジャッジ 難易度:
4年前

14

問題文

n(2) を自然数とするとき,以下の試行を行うことを考える。


試行

  • n 人が 0,1,2 のいずれかひとつの数を無作為に選ぶ。
  • i(i=1,2,,n) が選んだ数を ai とする。各人 i に対して,
    ainj=1aj(mod3)ならば人 i生存し,そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。

n 人がmodじゃんけんを 1 回行い,全員が生存するか全員が脱落するとき,modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。

n 人がmodじゃんけんを 1 回行ってあいこになる確率を pn とするとき

p2=,p3=,p4=カキ

である。n で割った余りが であるとき

pn=n+n

であり,そうでないときには

pn=n+n

である。また,

limnpn=

が成り立つ。

解答形式

空欄 には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。 に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

[C] 奇妙な数列

ofukufukufuku 自動ジャッジ 難易度:
4年前

12

問題文

以下のような数列 {an} を考える。
an=1+2nm=1floor[nnmk=1floor(cos2(k1)!+1kπ)]なお、floor(x)x 以下の最大の整数を返す関数とする。このとき、a20 を求めよ。

ただし、必要であれば以下の定理および不等式を用いても良い。

  1. n が素数のとき
    (n1)!1(modn)
  2. n1 のとき
    1nn<2

解答形式

半角数字で入力してください.

[F] Slow and Steady

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4年前

3

問題文

n を自然数とする。置換 σSn に対して,σ近道度 m(σ) を次のように定義する。

  • σ互いに素な(共通元をもたない) 巡回置換の積に表したとき,各巡回置換の長さの積の逆数を m(σ) とする。(太字部分は19:42追記)

例えば σ=(142)(567)(3)S7 なら,σ は長さ 3,3,1 の巡回置換からなるから,σ の近道度 m(σ)

m(σ)=1331=19

である。自然数 n に対して,1,,n の置換(これは n! 通りある)の近道度の平均を

fn=1n!σSnm(σ)

とおく。

f1=1,f2=,f4=ウエオカキク

であり,

n=0fn=X

である(級数が収束することは証明なしに認めてよい)。ただし f0=1 と約束する。

Snn 次対称群を表す(19:03追記)。

解答形式

には 0 - 9 の数字が当てはまります。 X にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。

  • 1行目 には に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 2行目 には に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 3行目 には ウエオ に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 4行目 には カキク に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 5行目 には  X  に当てはまる数を入力します。答えを 10 進小数で表し,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください。例えば,9.876 が答えになる場合は 9.9 と解答してください。

ヒント

  • f0,,fn1 を使って fn を表すことができます。
  • fn の母関数を f(t)=n=0fntn とおくと,f(t) はとある微分方程式を満たします。

求面積問題10

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
4年前

7

問題文

図中の赤い線分の長さが10のとき、青で示した四角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

[B]ネットワークの情報伝達

kaicho 自動ジャッジ 難易度:
4年前

11

問題文

次のようなネットワークを考える.
・情報として「0」または「1」の状態を各ノードは保持することができる.
・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する.
・情報の伝達の際には,ある確率pで正しく状態を伝達するが,1-pの確率で状態が反転して伝達される.ここで,このpは枝によって値が異なることに注意する.
・2つのノードから情報が伝達される場合には,両方の情報を受け取った上で,保持する状態を決定する.このとき,2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し,異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする).
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え,始点と終点の状態が一致する確率xを求める.
ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える.このネットワークはxy平面上の3×3のサイズの格子点において,x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b,始点を原点,終点を点(2,2)としたものとみなせる.このとき,n×nのサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると,nとした時に,始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ.

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ.例)11/92
1行目に①,2行目に②,3行目に③を解答すること.

連立する整数問題

SU-JACK 採点者ジャッジ 難易度:
4年前

3

問題文

0でない整数xyzについてA=xyzB=xyzと定める。A+B=3AB=5となるとき、xyzの値を求めよ

[E] Centrosymmetry

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4年前

4

問題文

Pn×n 行列とする。P の第 (i,j) 成分と第 (ni+1,nj+1) 成分がつねに一致するとき,P点対称行列と呼ぶことにする。例えば n=4 なら,P は一般に

P=(abhgcdfeefdcghba)

という形をしている。E4×4 の単位行列とし,4×4 行列 J

J=(0001001001001000)

で定義する。

(1) 一般の 4×4 行列 X に対して,XJ(,) 成分と X(1,2) 成分は一致する。また,JX(,) 成分と X(1,2) 成分は一致する。よって, 4×4 行列 P が点対称行列であることは,JPJ=P が成り立つことと同値である。

(2) E2×2 の単位行列とし,2×2 行列 J

J=(0110)

で定義する。4×4 点対称行列 P が,ある 2×2 行列 A,B,C,D を用いて

P=(ABCD)

と表せたとする。(1) と同様の考察より,D=JAJ,B=JCJ である。4×4 行列 Q

Q=12(EJJE)

で定めると,QTQ= であり

QTPQ=(+キクサシスセソ)

が成り立つ。

(3) p を実定数とする。(2) の結果を利用して,行列

P=(0p01p0p21pp(1p)p(1p)1pp201p0p0)

の固有値を求めよう。p=1315 のとき,P の固有値は大きい順に

,,トナ,ヌネノ

である。

解答形式

空欄 には,半角数字 0 - 9 ,記号 - ,4×4行列 E', J' ,2×2行列 E, J, A, C, O のいずれかが当てはまります(B, Dを使って解答することはできません。O は零行列を表します)。 に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

Roly Poly

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4年前

2

問題文

mn を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 f(x) が次の性質をもっているとき,f(x)m,n-生成の多項式と呼ぶことにします.

  • 性質:すべての実数係数多項式 g(x)に対して,f(x)g(x)=h(xm,xn) となるような実数係数の2変数多項式 h(x,y) が存在する.

xk がすべての 10,n-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 k


です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.

解答形式

センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.

[C] A Downward Tower

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4年前

2

問題文

n=0,1, に対し,In
In=k=012kk!(2n+2k1)!!で定める。ただし (1)!!=1 とする。この級数は収束することが知られている(例えば,ダランベールの判定法を適用すればよい)。特に
I0+I1=である。また,{In} は漸化式
In1In+1=(n)In(n=1,2,)を満たし
limnIn+1In=が成り立つ。これらの結果を用い,漸化式を変形すると
1+13+15+17+1=+が得られる。ただし とする。

注意

自然数 n1 に対し,n!!1 個とばしの階乗を表す。例えば,n が奇数のとき
n!!=n(n2)(n4)31である。

解答形式

空欄 には,半角数字 0 - 9 ,記号 - ,円周率 π ,自然対数の底 e のいずれかが当てはまります。 に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

[A] よくある級数

ofukufukufuku 自動ジャッジ 難易度:
4年前

13

問題文

y=tanx(π2<x<π2) の逆関数を x=f(y) とする.このとき,
S=n=0f(1n2+n+1)を求めよ.答えは,整数ア・イを用いて
S=πと既約分数の形でかける.

解答形式

アとイをそれぞれ1行目、2行目に半角数字で入力せよ.

[F] endless sequence

okapin 自動ジャッジ 難易度:
4年前

9

問題文

(1)pを奇素数とし、1pを2進数で表示したときの循環節(※)が2以上8以下であるようなpは6つ存在する。フェルマーの小定理を用いてpとそのpに対する1pの循環節の長さの関係を導き、6つのpの値を全て答えよ。

(2)pを奇素数とし、1pを2進数で表示したときに最大で1が連続して並ぶ個数をf(p)とおく。例えば13=0.01010(2)よりf(3)=1である。(1)を満たすpの中でf(p)が最大となるのはpがいくらのときか。Midyの定理を用いることによって求め、その値を答えよ。


(※)循環節とは、循環小数の繰り返される数字の列のうちその長さが最小でありかつその先頭が最も先に来るようなもののことである。例えば13=0.01010(2)となり、このときの循環節は01であり、010110は循環節とならない。


解答形式

(1)の全ての答えを小さい順に1~6行目に半角数字で入力してください。また、(2)の答えを7行目に半角数字で入力してください。