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[E] お好みの湯加減

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年12月5日18:00 正解数: 3 / 解答数: 4 (正答率: 75%) ギブアップ不可
数列 まそらた杯
この問題はコンテスト「第2回まそらた杯」の問題です。

問題文

しずかちゃんがシャワーを浴びようとしてお湯を出し始めた。はじめのお湯の温度は 35℃で、お湯を出し始めてから n 秒後のお湯の温度は Tn℃であるとする。

しずかちゃんは非常に温度に敏感で、シャワーの温度をちょうど 40℃に設定しないと落ち着かない。そこで、しずかちゃんはお湯を出し始めてから n=1,2,3... 秒後に、シャワーの温度がちょうど a(40Tn)℃だけ上がるように温度調節レバーを操作する。ここで、a は正の定数である。なお、Tn>40 のときは a(Tn40)℃だけ温度が「下がる」ように操作するものとする。

N を自然数の定数として、温度調節レバーの操作がお湯の温度に反映されるまでちょうど N 秒かかる。すなわち、しずかちゃんがお湯を出し始めてから n 秒後に温度調節レバーを操作したとき、 はじめから n+N 秒後と n+N+1 秒後の間にシャワーの温度が a(40Tn)℃だけ上昇する。

さて、limnTn=40 であれば、しずかちゃんは十分な時間が経つと快適にシャワーを浴びることができる。a が十分小さければ、すなわち温度をできるだけ少しづつ上げていけば、直感的にはこのことは可能である。では、具体的には a はどれほど小さい必要があるのだろうか。そこで、limnTn=40 が成り立たないような a の最小値を ac とおく。以下の空欄を埋めよ。

(1) N=1 のとき、ac= である。

(2) N=2 のとき、ac=イウ+ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
(1)の答えとして「ア」にあてはまる数を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「イウエオ」を半角で2行目に入力せよ。


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相異なる正の実数 a,b,cab2(1b)=bc2(1c)=ca2(1a) を満たして動くとき、(1a)(1b)(1c) の最大値は

アイウ+エオキクケ

である。

解答形式

ア〜ケには、0から9までの数字、または-(マイナス)が入る。文字列「アイウエオカキクケ」を全て半角で1行目に入力せよ。ただし、それ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。

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行列Aを次で定義する。
A=(637000121000536000000121000141000240)
このとき次の実線形空間の次元を求めよ。
V={XM6(R)AX=XA}
ただし、M6(R)とは6行6列の実正方行列全体の集合である。

解答形式

半角数字で答えよ。

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問題文

正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 f が、任意の正の実数 x,y に対して

f(x+y+1xy)=f(x)f(y)x+y+1

を満たすとき

f(1121)=アイウエオカキ

である。

解答形式

ア〜キには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

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a,ba>1,b>1を満たす実数とする。
θ0θ<2πの範囲を動くときf(θ)=a22acosθ+1+b22bsinθ+1の最小値がa2+b2となるような(a,b)の存在範囲をab平面に図示したとき、その領域の面積を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。

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問題文

n を自然数とする。置換 σSn に対して,σ近道度 m(σ) を次のように定義する。

  • σ互いに素な(共通元をもたない) 巡回置換の積に表したとき,各巡回置換の長さの積の逆数を m(σ) とする。(太字部分は19:42追記)

例えば σ=(142)(567)(3)S7 なら,σ は長さ 3,3,1 の巡回置換からなるから,σ の近道度 m(σ)

m(σ)=1331=19

である。自然数 n に対して,1,,n の置換(これは n! 通りある)の近道度の平均を

fn=1n!σSnm(σ)

とおく。

f1=1,f2=,f4=ウエオカキク

であり,

n=0fn=X

である(級数が収束することは証明なしに認めてよい)。ただし f0=1 と約束する。

Snn 次対称群を表す(19:03追記)。

解答形式

には 0 - 9 の数字が当てはまります。 X にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。

  • 1行目 には に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 2行目 には に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 3行目 には ウエオ に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 4行目 には カキク に当てはまる数を半角で入力してください。
  • 5行目 には  X  に当てはまる数を入力します。答えを 10 進小数で表し,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください。例えば,9.876 が答えになる場合は 9.9 と解答してください。

ヒント

  • f0,,fn1 を使って fn を表すことができます。
  • fn の母関数を f(t)=n=0fntn とおくと,f(t) はとある微分方程式を満たします。

問題文

以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に 0 から 9 までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。

(1)数列 ,,,, には、
0 回、1 回、2 回、3 回、4 回、それぞれ現れる。

(2)数列 ,,,,,,,,, には、
0 回、1 回、2 回、3 回、4 回、
5 回、6 回、7 回、8 回、9 回、それぞれ現れる。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。

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問題文

次のようなネットワークを考える.
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・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する.
・情報の伝達の際には,ある確率pで正しく状態を伝達するが,1-pの確率で状態が反転して伝達される.ここで,このpは枝によって値が異なることに注意する.
・2つのノードから情報が伝達される場合には,両方の情報を受け取った上で,保持する状態を決定する.このとき,2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し,異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする).
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え,始点と終点の状態が一致する確率xを求める.
ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える.このネットワークはxy平面上の3×3のサイズの格子点において,x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b,始点を原点,終点を点(2,2)としたものとみなせる.このとき,n×nのサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると,nとした時に,始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ.

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ.例)11/92
1行目に①,2行目に②,3行目に③を解答すること.

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すべての複素数に対して定義され、複素数の値をとる関数 f(z) は、すべての複素数 z,w について

f(z+w)=f(z)f(w)+zw ...()

をみたすとする。以下の問いに答えよ。

⑴ すべての複素数 z について f(2)f(z)+z=f(1)f(z+1)+1 が成り立つことを示せ。
() をみたすような f(z) をすべて求めよ。

解答形式

⑵を解答したうえで、以下の空欄ア~エに当てはまる0~9の整数を順に並べて4桁の半角数字「アイウエ」を入力せよ。根号の中身が最小になるように解答せよ。

|f(5+11i)| のとりうる値のうち最大のものは(), 最小のものは()() である。

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問題文

(1)tanθ=14 のとき、tan2θ=イウ である。

(2)連立方程式

{x1=x2(2+x1x2)x2=x3(2+x2x3)x3=x4(2+x3x4)x4=x1(2+x4x1)

を満たす実数 (x1,x2,x3,x4) の組は全部で エオ 個あり、そのうち tan20<x1<tan80 を満たすような組は 個ある。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で2行目に入力せよ。

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問題文

f(x)=16x3+24x29x+1 とおく。以下の問いに答えよ。

⑴ 以下の式が θ の恒等式になるように空欄を埋めよ。なお、同じ文字の空欄には同じ数が入る。

f(+sinθ)=+sin(θ)

⑵ 次の定積分を求めよ。
0.750.5f(f(f(x)))dx=エオカキクケコ

解答形式

ア〜コには、0から9までの数字が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「エオカキクケコ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で答えよ。

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問題文

k0以上の実数, eを自然対数の底とする。数列an
an=n!ennn+k
と定める。任意の自然数nに対して, an+1<anが成り立つような最小のkを求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

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問題文

n=0,1, に対して

In=10xn1x4dx

と定める。この広義積分は収束することが知られている。

任意の n=0,1, に対して
In+=n+n+Inが成り立つ(ただし 0 でない)。これを利用すると

n=1[14(4n1)2]=παが導かれる。ここで α

α=0t3/4etdt=Γ(14)で定義される定数である(この広義積分は収束することが知られている)。

注意事項

以下の事実は証明なしに用いてよい。

  • 実数 x>0 に対して,広義積分
    Γ(x):=0tx1etdtは収束する。
  • 実数 x>0 に対して
    Γ(x+1)=xΓ(x)が成り立つ。
  • 実数 x,y>0 に対して
    Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)=10tx1(1t)y1dtが成り立つ。ただし,右辺の広義積分は収束することが知られている。
  • 実数 0<x<1 に対して
    Γ(x)Γ(1x)=πsinπxが成り立つ(相反公式)。

解答形式

には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。 に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。